第5章 第1节 平面向量的概念-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（湘教版 新教材 新高考）

第一节　平面向量的概念 课程标准　 1．向量概念 (1)通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义； (2)理解平面向量的几何表示和基本要素． 2．向量运算 (1)借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义； (2)通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义； (3)了解平面向量的线性运算性质及其几何意义． 授课提示：对应学生用书第94页 知识点一　向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小，也就是向量的长度，称为模 平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量 记作0，其方向是任意的，所有零向量相等 单位向量 长度为1的向量 非零向量a的单位向量为± 平行向量 当非零向量a，b方向相同或相反时，我们既称a，b共线，也称a，b平行 0与任意向量平行或共线 相等向量 方向相同、长度相等的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等、方向相反的向量 0的相反向量为0 知识点二　向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a； (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 已知两个向量a，b，求x满足a＋x＝b，这样的运算叫作向量的减法 三角形法则 b－a＝b＋(－a) 数乘 求向量的实数倍的运算 |λa|＝|λ||a|； 当λ>0，a≠0时，λa的方向与a同向；当λ<0，a≠0时，λa的方向与a反向；当λ＝0或a＝0时，λa＝0 (x＋y)a＝xa＋ya； x(ya)＝(xy)a； x(a＋b)＝xa＋xb. 知识点三　共线向量定理 两个向量平行⇔其中一个向量是另一个向量的实数倍，即a∥b⇔存在实数λ，使得b＝λa或a＝λb. 1．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k(　　) A．共线　　　　　　　　 B．不共线 C．共线且同向 D．不一定共线 答案：D 2．下列说法中正确的是(　　) A．单位向量都相等 B．平行向量不一定是共线向量 C．对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b| D．若a，b满足|a|>|b|且a与b同向，则a>b 解析：对于A，单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；对于B，平行向量就是共线向量，故错误；对于C，若a，b同向共线，|a＋b|＝|a|＋|b|，若a，b反向共线，|a＋b|<|a|＋|b|，若a，b不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边知|a＋b|<|a|＋|b|. 综上可知，对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|，故正确； 对于D，两个向量不能比较大小，故错误． 答案：C 3．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则＝________，＝________(用a，b表示)． 答案：b－a　－a－b 授课提示：对应学生用书第95页 题型一　平面向量的有关概念 例1　(多选)已知a，b是两个单位向量，下列命题中正确的是(　　) A．|a|＝|b|＝1 B．a·b＝1 C．当a，b反向时，a＋b＝0 D．当a，b同向时，a＝b [答案]　ACD 　向量概念的注意点 1．相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． 2．共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． 　设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使＋＝0成立的是(　　) A．a＝2b B.a∥b C．a＝－b D．a⊥b 解析：因为，分别表示与a，b同向的两个单位向量，所以要使＋＝0，只需a与b共线且方向相反．对照各个选项可知，选项A中a与b的方向相同；选项B中a与b共线，方向相同或相反；选项C中a与b的方向相反；选项D中a与b互相垂直． 答案：C 题型二　平面向量的线性运算 角度(一)　向量加、减法的几何意义 例2　若|a|＝|b|＝1，则|a＋b|的取值范围为________，当|a＋b|取得最大值时，向量a，b的方向________． [解析]　设两向量的起点在原点，a的终点为(1,0)，则b的终点在以原点为圆心，半径为1的圆上，如图所示，由图象可知，当两向量反向时|a＋b|最小，此时|a＋b|＝0，当两向量同向时|a＋b|最大，此时|a＋b|＝2，所以|a＋b|的取值范围为[0,2]． [答案]　[0,2]　相同 第五章　平面向量与复数高考总复习　数学 1．已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，则|a＋b|＝________. 解析：如图所示，设＝a，＝b，则||＝|a－b|. 以O