第4章 第4节 第2课时 三角函数的周期性、奇偶性、对称性-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（湘教版 新教材 新高考）

第二课时　三角函数的周期性、奇偶性、对称性 课程标准　能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性、奇偶性、对称性． 授课提示：对应学生用书第85页 知识点　三角函数图象的周期性、奇偶性、对称性 三角函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 周期性 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π 续表 三角函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称性 对称轴方程是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z) 对称轴方程是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是(k∈Z) 无对称轴，对称中心是(k∈Z) 授课提示：对应学生用书第86页 题型一　三角函数的周期性 例1　(1)(2021·全国乙卷)函数f(x)＝sin ＋cos 的最小正周期和最大值分别是(　　) A．3π和　　　　　　 B．3π和2 C．6π和 D．6π和2 (2)已知函数f(x)＝cos(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数图象(　　) A．关于点对称 B．关于直线x＝对称 C．关于点对称 D．关于直线x＝对称 [解析]　(1)由题意知： f(x)＝sin＋cos＝＝sin，最小正周期T＝＝6π； 当sin＝1，即x＝π＋6kπ，k∈Z时，f(x)取最大值. (2)由已知可得ω＝＝＝2， 所以f(x)＝cos. 因为f＝0，所以点是该函数图象的对称中心，所以A正确，B错误； 因为f≠0，所以点不是该函数图象的对称中心，所以C错误；因为f＝－≠±1，所以直线x＝不是该函数图象的对称轴，所以D错误． [答案]　(1)C　(2)A 　周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为求解． 1．函数f(x)＝tan与函数g(x)＝sin的最小正周期相同，则ω＝(　　) A．±1 B．1 C．±2 D．2 解析：由题可得＝，解得|ω|＝1，即ω＝±1. 答案：A 2．在函数：①y＝cos|2x|；②y＝|cos x|；③y＝cos；④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为(　　) A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③ 解析：y＝cos|2x|＝cos 2x，该函数为偶函数，最小正周期T＝＝π；将函数y＝cos x在x轴下方的图象向上翻折即可得到y＝|cos x|的图象，该函数的最小正周期为×2π＝π；函数y＝cos的最小正周期为T＝＝π；函数y＝tan的最小正周期为T＝.综上，最小正周期为π的所有函数为①②③. 答案：A 题型二　三角函数的奇偶性与对称性 例2　(1)已知f(x)＝sin(x＋φ)＋cos(x＋φ)为奇函数，则φ的一个取值可以是(　　) A.　　　　　　 B．－ C. D．－ (2)已知函数f(x)＝asin x＋cos x(a为常数，x∈R)的图象关于直线x＝对称，则函数g(x)＝sin x＋acos x的图象(　　) A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称 (3)已知函数f(x)＝asin 2x－bcos 2x(a，b为常数，a≠0，x∈R)在x＝处取得最大值，则函数y＝f是(　　) A．奇函数且它的图象关于点对称 B．偶函数且它的图象关于点对称 C．奇函数且它的图象关于直线x＝π对称 D．偶函数且它的图象关于直线x＝π对称 [解析]　(1)f(x)＝sin(x＋φ)＋cos(x＋φ)＝sin为奇函数，所以φ＋＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z.因此，选项D正确． (2)因为函数f(x)＝asin x＋cos x(a为常数，x∈R)的图象关于直线x＝对称，所以f(0)＝f，所以1＝a＋，a＝，所以g(x)＝sin x＋cos x＝sin，函数g(x)的对称轴方程为x＋＝kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)．当k＝0时，对称轴为直线x＝，所以g(x)＝sin x＋acos x的图象关于直线x＝对称． (3)由题意，f(x)＝asin 2x－bcos 2x＝sin(2x－φ)，其中tan φ＝，所以函数f(x)的最小正周期为π.又f(x)在x＝处取得最大值，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝＋，k∈Z，对称中心为，k∈Z.将f(x)的图象向左平移个单位长度得到y＝f的图象，所以函数y＝f是奇函数且它的图象关于点对称． [答案]　(1)D　(2)C　(3)A 　有关三角函数的奇偶性、对称性和周期性问题的解题思路 1．奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一