第4章 第4节 第1课时 三角函数的定义域、最值(值域)、单调性-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（湘教版 新教材 新高考）

第四节　三角函数的图象与性质 第一课时　三角函数的定义域、最值(值域)、单调性 课程标准　1.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)．　2.理解正切函数在区间上的单调性． 授课提示：对应学生用书第82页 知识点一　五点法作正弦函数与余弦函数的简图 　在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是： (0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． 在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是： (0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 五点法作图有三步：列表、描点、连线(注意光滑)． 知识点二　正弦、余弦、正切函数图象与性质 三角函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 单 调 性 l 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减 在 (k∈Z)上单调递增 续表 三角函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 最值 当且仅当x＝＋2kπ(k∈Z)时，取得最大值1；当且仅当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，取得最小值－1 当且仅当x＝2kπ(k∈Z)时，取得最大值1；当且仅当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，取得最小值－1 无最值 1．函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0,2π]的大致图象为(　　) 解析：y＝cos x＋|cos x|＝ 答案：D 2．(多选)下列函数中，周期不为的是(　　) A．y＝cos 4x　　　　　　　 B．y＝sin 2x C．y＝cos D．y＝sin 解析：对于A，∵cos＝cos(2π＋4x)＝cos 4x，∴T＝；对于B，∵sin＝sin(π＋2x)＝－sin 2x，∴T≠.同理可知C，D的周期均不是. 答案：BCD 3．函数y＝3tan的图象的一个对称中心是(　　) A. B. C. D．(0,0) 解析：函数y＝tan x的图象的对称中心为，k∈Z.由x＋＝，k∈Z，得x＝kπ－，k∈Z，所以函数y＝3tan的图象的对称中心是，k∈Z.令k＝0，得. 答案：C 4．(易错题)函数f(x)＝是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 解析：由题意，知sin x≠1，即f(x)的定义域为，不关于原点对称．∴f(x)是非奇非偶函数． 答案：D 5．(2023·宜昌模拟)下列函数中，周期为π，且在区间上单调递减的是(　　) A．y＝sin B．y＝cosx C．y＝sin 2x D．y＝cos 2x 解析：在A选项中，函数y＝sin的周期为2π，不符合条件； 在B选项中，函数y＝cosx的周期为4π，不符合条件； 在C选项中，函数y＝sin 2x的周期为π，但是在上不单调，不符合条件； 在D选项中，函数y＝cos 2x的周期为π且在上单调递减，符合条件． 答案：D 授课提示：对应学生用书第83页 题型一　三角函数的定义域 例1　(1)(2023·郑州模拟)函数y＝ 的定义域为(　　) A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z (2)函数y＝lg(sin x)＋的定义域为________． [解析]　(1)由题可知， 即 解得－＋kπ＜x≤＋kπ，k∈Z. (2)函数有意义，则 即 解得 所以2kπ<x≤＋2kπ(k∈Z)， 所以函数的定义域为. [答案]　(1)C　(2) 　1.三角函数定义域的求法：求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数的图象来求解． 2．三角函数与基本初等函数的组合或复合，其定义域是使各部分式子有意义的实数的集合的交集． 1．函数y＝的定义域为________． 解析：要使函数有意义，则 即 故函数的定义域为 . 答案： 2．函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为__________________________． 解析：由题意可知 得 解得－3≤x<－或0<x<. 故函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为∪. 答案：∪ 题型二　三角函数的最值(值域) 例2　(1)函数y＝2sin－cos(x∈R)的最小值是(　　) A．－3　　　　　　　　　 B．－2 C．－1 D．－ (2)函数f(x)＝3sin在区间上的值域为(　　) A. B. C. D. (3)当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的最小值是________，最大值是________． [解析]　(1)y＝2sin－cos＝2sin－sin＝sin，∵x∈R，∴ymin＝－1. (2)当x∈时，2x－∈， sin∈