第4章 第3节 第2课时 二倍角的正弦、余弦和正切公式-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（湘教版 新教材 新高考）

第二课时　二倍角的正弦、余弦和正切公式 课程标准　会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系． 授课提示：对应学生用书第75页 知识点　二倍角公式 1．sin 2α＝2sin_αcos_α. 2．cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. 3．tan 2α＝. 1.的值为(　　) A．－　　　　　　　 B．－ C. D. 解析：原式＝cos2－sin2＝cos＝. 答案：D 2.－＝(　　) A．－2cos 5° B．2cos 5° C．－2sin 5° D．2sin 5° 解析：原式＝－＝(cos 50°－sin 50°)＝2＝2sin(45°－50°)＝－2sin 5°. 答案：C 3．已知cos α＝，则cos 2α等于________． 解析：由cos α＝，得cos 2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－. 答案：－ 4.＝________. 解析：原式＝·＝×tan 45°＝. 答案： 授课提示：对应学生用书第76页 题型一　二倍角的正弦、余弦、正切公式的直接应用 例1　若sin α＝，cos α＝，则sin 2α＝________，cos 2α＝________，tan 2α＝________. [解析]　∵sin α＝，cos α＝，∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝. tan 2α＝＝＝. [答案]　　　 例2　已知sin 2α＝，<α<，求sin 4α，cos 4α，tan 4α 的值． [解]　由<α<，得<2α<π. 又sin 2α＝， 所以cos 2α＝－＝－＝－， 所以sin 4α＝sin[2×(2α)]＝2sin 2αcos 2α＝2××＝－， cos 4α＝cos[2×(2α)]＝1－2sin22α＝1－2×2＝， tan 4α＝＝＝－. 　直接应用二倍角公式解决问题时，要理解二倍角的含义，如：α＝2·，4α＝2·2α，＝2·. 1．已知α∈，sin α＝，则sin 2α＝________，cos 2α＝________，tan 2α＝________. 解析：因为α∈，sin α＝，所以cos α＝－， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－， cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝， tan 2α＝＝－. 答案：－　　－ 2．已知sin＝，0<x<，求cos 2x的值． 解：因为x∈，所以－x∈. 又因为sin＝， 所以cos＝， 所以cos 2x＝sin＝ 2sincos＝2××＝. 题型二　二倍角的正弦、余弦、正切公式的逆用和变形应用 例3　(1)coscosπ的值为(　　) A．－　　　　　　　　 B．－ C. D. (2)tan－＝________. [解析]　(1)coscosπ＝cossin＝sin＝. (2)tan－＝－＝＝＝－×2×2＝－2. [答案]　(1)C　(2)－2 　倍角公式的逆用和变形应用的技巧 1．逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． 2．倍角公式变形： sin αcos α＝sin 2α； cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； cos2α＝，sin2α＝. 　(2023·扬州模拟)－的值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：－＝－＝＝＝＝4. 答案：B 题型三　二倍角的正弦、余弦、正切公式的灵活应用 例4　(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α＝(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. [解析]　∵tan 2α＝，且α∈， ∴＝， ∴2sin 2α＝cos αcos 2α＋sin αsin 2α， 即4sin αcos α＝cos(2α－α)＝cos α.又cos α≠0， ∴4sin α＝1，∴sin α＝，∴cos α＝，∴tan α＝. [答案]　A 例5　化简：　，其中α∈. [解]　因为α∈， 所以cos α＞0，∈， 所以cos＜0. 故原式＝　＝　＝　＝＝－cos. 　化简和求值问题的解题策略 1．着手点：从“幂”的差异、“名”的差异、“角”的差异这三个方面，结合所给“形”的特征入手解决． 2．化简方法：(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角；(2)降幂或升幂；(3)重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ. 1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α. 1．已知sin＝，0<x<，求的值． 解：原式＝ ＝ ＝2sin. ∵sin＝cos＝， 且0＜x＜， ∴＋x∈， ∴sin＝＝， ∴原式＝2×＝. 2．化简：－，其中θ∈(0，π)． 解：