第4章 第1节 任意角与弧度制、任意角的三角函数-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（湘教版 新教材 新高考）

第一节　任意角与弧度制、任意角的三角函数 课程标准　1.了解任意角的概念和弧度制的概念．　2.能进行弧度与角度的互化．　3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 授课提示：对应学生用书第66页 知识点一　任意角的概念 1．角的概念 角可以看作是平面内一条射线绕着其端点从初始位置旋转到终止位置时所形成的图形． 2．角的分类 名称 定义 图形 正角 一条射线绕着端点以逆时针方向旋转所形成的角 负角 以顺时针方向旋转所形成的角 零角 不旋转所形成的角，用0°表示 3.终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 知识点二　弧度制的定义和公式 1．定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，“弧度”用符号rad表示． 2．公式： 角α的弧度数公式 |α|＝(l表示弧长) 角度与弧度的换算 (1)1°＝ rad；(2)1 rad＝° 弧长公式 l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 知识点三　任意角的三角函数 1.如图，设α是一个任意角，在角α的终边OM上任取不同于原点O的点P，r＝|OP|＝，利用点P的坐标定义sin α＝；cos α＝；tan α＝.以上三个比值分别称为角α的正弦、余弦、正切． 2．对于任意的角α，sin α，cos α都分别唯一对应一个值；当α≠＋kπ(k∈Z)时，tan α也唯一对应一个值，此时y＝sin α，y＝cos α，y＝tan α分别叫作角α的正弦函数、余弦函数、正切函数．以上三种函数称为三角函数． 3．三角函数值的符号 如图所示： 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 知识点四　三角函数线 　 有向线段DP，OD，AT分别叫作角α的正弦线、余弦线和正切线． 其中有向线段DP，OD，AT的方向和长度分别代表了sin α，cos α，tan α的符号和绝对值、正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线． 1．(多选)下列说法中错误的是(　　) A．终边相同的角必相等 B．锐角必是第一象限角 C．小于90°的角是锐角 D．第二象限角必大于第一象限角 解析：A.终边相同的角必相等错误，如0°与360°终边相同，但不相等； B．锐角必是第一象限角，正确； C．小于90°的角是锐角，错误，如负角； D．第二象限角必大于第一象限角，错误，如120°是第二象限角，390°是第一象限角，但390°大于120°.综上，错误的是A，C，D. 答案：ACD 2．(2023·舒兰模拟)角α＝－60°＋k·180°(k∈Z)的终边落在(　　) A．第四象限　　　　 B．第一、二象限 C．第一象限 D．第二、四象限 解析：令k＝0，则α＝－60°，角α的终边在第四象限；再令k＝1，则α＝－60°＋180°＝120°，角α的终边在第二象限． 答案：D 3．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，则扇形的面积为(　　) A．40π cm2 B．80π cm2 C．40 cm2 D．80 cm2 解析：∵72°＝，∴S扇形＝αr2＝××202＝80π(cm2)． 答案：B 4．(2023·安阳模拟)已知角α的始边是x轴的正半轴，终边经过点(－3，y)，且sin α＝，则tan α＝(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：角α的始边是x轴的正半轴，终边经过点(－3，y)，且sin α＝＝，得y＝4，则tan α＝＝－. 答案：A 5．(易错题)若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是(　　) A. B. C. D.(k∈Z) 解析：阴影部分的两条边界分别是 和角的终边，所以α的取值范围是(k∈Z)． 答案：D 第四章　三角函数高考总复习　数学 6.(易错题)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角α的弧度数为________． 解析：设扇形的半径为r cm，圆心角α所对的弧长为l cm.由题意得解得或∴α＝8或.又∵0＜α＜2π，∴α＝. 答案： 授课提示：对应学生用书第67页 题型一　任意角的概念 例1　(1)(多选)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是(　　) A．第一象限角　　　　 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 (2)集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　) (3)(2023·六安模拟)若角θ与2θ的终边关于x轴对称，且－π≤θ≤π，则θ所构成的集合为________． [解析]　(1)因为角2α的终边在x轴的上方，所以k·360°＜2α＜k·360°＋180°，k∈Z，则有k·180°＜α＜k·180°＋90°，k∈Z.故当k＝2n