第3章 第2节 导数在研究函数中的应用-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（湘教版 新教材 新高考）

第二节　导数在研究函数中的应用 课程标准　1.了解函数的单调性和导数的关系．　2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不会超过三次)．　3.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．　4.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．　5.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)． 授课提示：对应学生用书第57页 知识点一　利用导数研究函数的单调性 1．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负关系 (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增，(a，b)为f(x)的单调递增区间． (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减，(a，b)为f(x)的单调递减区间． 2．利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f__′(x)； (2)在定义域内解不等式f__′(x)>0或f__′(x)<0； (3)根据结果确定f(x)的单调区间． 知识点二　利用导数研究函数的极值与最值 1．函数的极大值 设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是区间(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都小于或等于f(x0)(即f(x)≤f(x0))，就说f(x0)是函数的一个极大值，此时x0称为y＝f(x)的一个极大值点． 2．函数的极小值 设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是区间(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都大于或等于f(x0)(即f(x)≥f(x0))，就说f(x0)是函数的一个极小值，此时x0称为y＝f(x)的一个极小值点． 极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点． 3．函数的最值 一般地，如果在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么该函数在[a，b]上必有最大值和最小值． 4．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值． (2)求函数y＝f(x)在端点处的函数值f(a)，f(b)． (3)将函数y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大者是最大值，最小者是最小值． 1．函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是(　　) A．(0,1)　　　　　　　　 B．(1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－1,0)∪(0,1) 答案：A 2．(多选)如果函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则以下关于函数y＝f(x)的判断正确的是(　　) A．在区间(2,4)内单调递减 B．在区间(2,3)内单调递增 C．x＝－3是极小值点 D．x＝4是极大值点 答案：BD 3．(2023·苏州调研)f(x)＝ex－x在区间[－1,1]上的最大值是(　　) A．1＋ B．1 C．e＋1 D．e－1 解析：f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，得x＝0，令f′(x)＞0，得x＞0，令f′(x)＜0，得x＜0，则函数f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，f(－1)＝e－1＋1，f(1)＝e－1，f(－1)－f(1)＝＋2－e＜＋2－e＜0，所以f(1)＞f(－1)． 答案：D 4．若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则实数c的取值范围为(　　) A. B. C.∪ D.∪ 解析：若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则f′(x)＝3x2－4cx＋1＝0有两个不等实根， 故Δ＝(－4c)2－12＞0，解得c＞或c＜－. 所以实数c的取值范围为∪. 答案：D 5．(易错题)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．(－∞，－1] C．[2，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：因为f(x)＝kx－ln x，所以f′(x)＝k－. 因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增， 所以当x>1时，f′(x)＝k－≥0恒成立， 即k≥在区间(1，＋∞)上恒成立． 因为x>1，所以0<<1，所以k≥1. 答案：D 6．(易错题)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9.若x＝－3是函数f(x)的一个极值点，则实数a＝________. 解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3.由题意知，x＝－3是方程f′(x)＝0的根，所以3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，解得a＝5.经检验，当a＝5时，f(x)在x＝－3处取得极值． 学科网（北京）股份有限公司 $$