第3章 第1节 导数的概念及其意义、导数的运算-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（湘教版 新教材 新高考）

第一节　导数的概念及其意义、导数的运算 课程标准　1.了解导数概念的实际背景．　2.通过函数图象直观理解导数的几何意义．　3.能根据导数定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数．　4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．　5.了解复合函数的求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数． 授课提示：对应学生用书第52页 知识点一　函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数(或微商) 1．定义：设函数y＝f(x)在包含x0的某个区间上有定义，在d趋近于0时，如果比值趋近于一个确定的极限值，则称此极限值为函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数(或微商)． 2．记法：记作f′(x0)． 知识点二　导数的物理意义与几何意义 1．导数的物理意义：当函数s＝f(t)表示运动方程时，其导数f′(t)的物理意义是该运动物体在时刻t的瞬时速度． 2．导数的几何意义：当函数y＝f(x)表示曲线方程时，其导数f′(x)的几何意义就是该曲线在点(x，f(x))处的切线的斜率． 知识点三　基本初等函数的导数公式 1．(c)′＝0. 2．(xα)′＝αxα－1(α≠0)． 3．(ex)′＝ex. 4．(ax)′＝axln_a(a＞0，a≠1)． 5．(ln x)′＝. 6．(logax)′＝(a＞0，a≠1)． 7．(sin x)′＝cos_x. 8．(cos x)′＝－sin_x. 9．(tan x)′＝. 知识点四　导数的运算法则 1．导数的四则运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则 (1)(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)； (2)(f(x)·g(x))′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝(f(x)≠0)． 2．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 熟记以下结论：(1)′＝－； (2)′＝－(f(x)≠0)； (3)(af(x)±bg(x))′＝af′(x)±bg′(x)． 1．(多选)下列结论中不正确的是(　　) A．若y＝cos，则y′＝－sin B．若y＝sin x2，则y′＝2xcos x2 C．若y＝cos 5x，则y′＝－sin 5x D．若y＝xsin 2x，则y′＝xsin 2x 答案：ACD 2．某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t(距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为(　　) A．9.1米/秒　　　　　　 B．6.75米/秒 C．3.1米/秒 D．2.75米/秒 答案：C 3．已知函数f(x)＝cos x，则f(π)＋f′＝(　　) A．－　　　　　　　 B．－ C．－ D．－ 答案：C 4．(易错题)函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　) A．0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2) B．0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)－f(2) C．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2) D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3) 答案：C 5．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为(　　) A．4 B．－ C．2 D．－ 答案：A 6．(易错题)已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：A 授课提示：对应学生用书第53页 题型一　变化率问题 例1　(1)一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为(　　) A．2　　　　　　　 B．1 C．－1 D．6 (2)已知一直线运动的物体，当时间从t变到t＋Δt时物体的位移为Δs，那么 为(　　) A．时间从t变到t＋Δt时物体的速度 B．在t时刻该物体的瞬时速度 C．当时间为Δt时物体的速度 D．时间从t变到t＋Δt时物体的平均速度 (3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，若f′(x0)＝4，则 的值为________. [解析]　(1)由已知，得＝26，所以(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，解得m＝1. (2)表示从时间t到t＋Δt时物体的平均速度，从而 表示在t时刻该物体的瞬时速度． (3) ＝2 ＝2 ＝2f′(x0)＝8. [答