第2章 第4节 指数与指数函数-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（湘教版 新教材 新高考）

第四节　指数与指数函数 课程标准　1.通过对有理数指数幂、实数指数幂的含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 2．通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．　3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 授课提示：对应学生用书第33页 知识点一　幂的运算 1．指数与指数运算 根式的性质 (1)()n＝a(a使有意义)． (2)当n为奇数时，＝a； 当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂的意义 分数指数幂 正数的正分数指数幂 规定：a＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1) 正数的负分数指数幂 规定：＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 4．无理数指数幂 无理数指数幂aα(a＞0，α为无理数)是一个确定的实数．整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂． 知识点二　指数函数 1．定义 在幂的表达式au中，让幂指数为常数而取底数a为自变量x，则得到的一类函数y＝ax(x∈R)叫作指数函数，其中a＞0，且a≠1. 2．指数增长和指数衰减 (1)指数增长：当底数a>1时，指数函数y＝ax的值从au增长到au＋T，增长率(au＋T－au)÷au＝aT－1是一个常量时，这个量被描述为指数式增长也称指数增长． (2)指数衰减：如果底数0＜a＜1时，指数函数值随自变量的增长而缩小以至无限接近于0，叫作指数衰减，其缩小百分比是一个常量． 3．指数函数的图象和性质 a的范围 a＞1 0＜a＜1 图象 续表 性 质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 (0,1) 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 1．(多选)下列运算正确的是(　　) A.＝π－3　　　 B．e2x＝(ex)2 C.＝a－b D.＝· 解析：对于A，因为＝|3－π|＝π－3，所以A正确； 对于B，因为e2x＝(ex)2，成立，所以B正确； 对于C，因为＝a－b，成立，所以C正确； 对于D，当a＜0且b＜0时，和无意义，所以D错误． 答案：ABC 2．若函数f(x)＝·ax是指数函数，则f的值为(　　) A．2 B．－2 C．－2 D．2 解析：∵函数f(x)是指数函数，∴a－3＝1，∴a＝8. ∴f(x)＝8x，f＝8＝2. 答案：D 3．函数y＝a|x|(a＞1)的图象是(　　) 解析：法一：由题设知y＝ ∵a＞1，∴由指数函数的图象易知选项B符合题意． 法二：∵y＝a|x|是偶函数，且a＞1，∴a|x|≥1，排除A，C.又当x≥0时，y＝ax，由指数函数的图象知选B. 答案：B 4．函数y＝1－2x，x∈[0,1]的值域是(　　) A．[0,1] B．[－1,0] C. D. 解析：由指数函数的性质可得f(x)＝2x是递增函数， 当x∈[0,1]时，f(0)≤f(x)≤f(1)，即1≤f(x)≤2， ∴－2≤－2x≤－1.∴函数y＝1－2x，x∈[0,1]的值域为[－1,0]． 答案：B 5．(易错题)若函数f(x)＝|x－2|，则f(x)的单调递减区间是(　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 解析：将原函数看成复合函数f(x)＝u，u＝|x－2|，f(x)是关于u的减函数，u在[2，＋∞)上为增函数，在(－∞，2]上为减函数，由复合函数的性质知，f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)． 答案：B 6．(易错题)已知函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[－1,1]上恒有f(x)＜2，则实数a的取值范围为________． 解析：当a＞1时，f(x)在[－1,1]上是增函数．因为函数f(x)在[－1,1]上恒有f(x)＜2，所以f(1)＜2，所以a＜2，所以1＜a＜2.当0＜a＜1时，f(x)在[－1,1]上是减函数．因为函数f(x)在[－1,1]上恒有f(x)＜2，所以f(－1)＜2，所以＜2，即a＞，所以＜a＜1. 综上所述，实数a的取值范围是∪(1,2)． 答案：∪(1,2) 授课提示：对应学生用书第34页 题型一　根式、指数式的化简与求值 例1　(1)(2023·青岛模拟)化简 (m＜0)的结果为(　　) A．m　　　　　　　 B．m C．－m D．－m (2)若a＋b＝m，ab＝m (m＞0)，则a3＋b3＝(　　) A．0 B. C．－ D. (3)计算：(－9.6)0－