第2章 第3节 幂函数与二次函数-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（湘教版 新教材 新高考）

第三节　幂函数与二次函数 课程标准　1.通过具体实例，理解幂函数的概念．　2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，理解它们的变化规律．　3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质． 授课提示：对应学生用书第29页 知识点一　幂函数的概念 1．定义 当x为自变量而α为非零实数时，函数y＝xα叫作(α次)幂函数． 2．幂函数分类 (1)整数次幂函数 ①当α为1,2,3…正整数时，此幂函数是正整数次幂函数，一般写成y＝xn(x∈R，n∈Z＋)； ②当α为－1，－2，－3，…负整数时，此幂函数是负整数次幂函数． 一般写成y＝x－n(n∈Z＋且x≠0)，正整数次幂函数和负整数次幂函数统称为整数次幂函数． (2)当α为，，－，…分数时，此幂函数是分数次幂函数． 3．幂运算的基本不等式的推广 对任意的正数r和两正数a＞b，有＝r＞1，即ar＞br.对任意的负数r和两正数a＞b，有＝r＜1，即ar＜br. 4．五个常见幂函数的性质 幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x∈(0，＋∞)增； x∈(－∞，0)减 增 增 x∈(0，＋∞)减；x∈(－∞，0)减 公共点 都经过点(1,1) 知识点二　二次函数 二次函数的图象和性质 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) a＞0 a＜0 图象 续表 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) a＞0 a＜0 定义域 R 值域 单调性 在上单调递减，　 在上单调递增　　 在上单调递增，　 在上单调递减　　 奇偶性 b＝0时为偶函数，b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 图象特点 对称轴：x＝－；顶点： 1．(2023·曲阜调研)函数y＝(m2＋2m－2)x是幂函数，则m＝(　　) A．1　　　　　　　　 B．－3 C．－3或1 D．2 解析：由题意，得解得m＝－3. 答案：B 2．(2023·三明模拟)函数f(x)＝xa＋b，不论a为何值，f(x)的图象均过点(m,0)，则实数b的值为(　　) A．－1 B．1 C．2 D．3 解析：∵y＝xa过定点(1,1)，∴f(x)＝xa＋b过定点(1,1＋b)，结合已知条件可知1＋b＝0，则b＝－1. 答案：A 3．函数y＝x2－x＋1，x∈[－1,1]的最大值与最小值之和为(　　) A．1.75 B．3.75 C．4 D．5 解析：函数y＝x2－x＋1图象的对称轴为直线x＝，则y＝x2－x＋1在上单调递减，在上单调递增，∴ymax＝(－1)2－(－1)＋1＝3，ymin＝2－＋1＝，∴ymax＋ymin＝3＋＝3.75. 答案：B 4．(多选)已知α∈{－1,1,2,3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的α的值为(　　) A．－1 B．1 C．2 D．3 解析：当α＝－1时，y＝x－1＝，为奇函数，但值域为{y|y≠0}，不满足条件； 当α＝1时，y＝x为奇函数，值域为R，满足条件； 当α＝2时，y＝x2为偶函数，值域为{y|y≥0}，不满足条件； 当α＝3时，y＝x3为奇函数，值域为R，满足条件． 答案：BD 5．(易错题)若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[－2,2] C．(－2,2] D．(－∞，－2) 解析：当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4＜0，恒成立，所以a＝2时，成立；当a－2≠0，即a≠2时，a满足解得－2＜a＜2.综上，可知a的取值范围是(－2,2]． 答案：C 6．(易错题)已知幂函数f(x)＝x－.若f(a＋1)＜f(10－2a)，则a的取值范围为________． 解析：由题意知解得3＜a＜5. 答案：(3,5) 授课提示：对应学生用书第30页 题型一　幂函数的图象与性质 例1　(1)(多选)已知幂函数y＝xα(α∈R)的图象过点(2,8)，下列说法正确的是(　　) A．函数y＝xα的图象过原点 B．函数y＝xα是偶函数 C．函数y＝xα是单调减函数 D．函数y＝xα的值域为R (2)已知函数f(x)＝xk(k∈Q)，在下列函数图象中，不是函数y＝f(x)的图象的是(　　) (3)若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c　　　　　　 B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c [解析]　(1)因为幂函数y＝xα的图象过点(2,8)，所以2α＝8，解得α＝3，所以y＝x3.函数y＝x3