第9章 第8节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（苏教版 新教材 新高考）

第八节　离散型随机变量的均值与方差、正态分布 热点命题分析 学科核心素养 离散型随机变量的均值与方差、正态分布的应用是命题的热点，一般为解答题，难度中档偏上． 通过离散型随机变量的均值与方差、正态分布，主要考查数据分析与数学运算及数学建模核心素养． 授课提示：对应学生用书第221页 知识点一　均值与方差 1．均值 (1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝p1x1＋p2x2＋…＋pnxn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b． (3)①若X服从两点分布，则E(X)＝p； ②若X～B(n，p)，则E(X)＝np． 2．方差 (1)设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则(xi－μ)2(μ＝E(X))描述了xi(i＝1，2，…，n)相对于均值μ的偏离程度．而V(X)＝(xi－μ)2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值μ的平均偏离程度，称V(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根为随机变量X的标准差． (2)V(aX＋b)＝a2V(X)． (3)若X服从两点分布，则V(X)＝p(1－p)． (4)若X～B(n，p)，则V(X)＝np(1－p)． 1．理解均值E(X)易失误，均值E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值的取值平均状态． 2．注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，V(aX＋b)＝a2V(X)易错．　 1．已知随机变量X的取值为0，1，2，若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则V(X)＝(　　) A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． 解析：设P(X＝1)＝p，则P(X＝2)＝1－p－＝－p． 由E(X)＝1，得0×＋1×p＋2×＝1，得p＝， 则V(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝． 答案：A 2．已知X的分布列为 X －1 0 1 P 设Y＝2X＋3，则E(Y)＝________． 解析：E(X)＝－＋＝－， E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝． 答案： 3．在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．乙能正确完成每道题的概率为，且每道题完成与否互不影响．记乙能答对的题数为Y，则Y的数学期望为________． 解析：由题意知Y的可能取值为0，1，2，3，且Y～B，则E(Y)＝3×＝2． 答案：2 知识点二　正态分布 1．正态密度曲线图象的特点 (1)当x＜μ时，曲线上升，当x＞μ时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐近线； (2)正态曲线关于直线x＝μ对称； (3)σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡； (4)在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1． 2．正态分布的三个常用数据 (1)P(μ－σ<X<μ＋σ)≈68．3%； (2)P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈95．4%； (3)P(μ－3σ<X<μ＋3σ)≈99．7%． 1．在N(μ，σ2)中，第二个数是σ2，而不是σ． 2．若X～N(μ，σ2)，则随机变量X在μ的附近取值的概率很大，在离μ很远处取值的概率很小．　 1．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，P(ξ>2)＝0．023，则P(－2≤ξ≤2)＝(　　) A．0．954　　　 B．0．977　　　 C．0．488　　　 D．0．477 解析：P(－2≤ξ≤2)＝1－2P(ξ>2)＝1－0．023×2＝0．954． 答案：A 2．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为(　　) (附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68．26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95．44%) A．4．56% B．13．59% C．27．18% D．31．74% 解析：由已知μ＝0，σ＝3，所以P(3<ξ<6)＝[P(－6<ξ<6)－P(－3<ξ<3)]＝(95．44%－68．26%)＝×27．18%＝13．59%． 答案：B 3．已知随机变量X服从正态分布X～N(3，1)，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，则c＝________． 解析：因为X～N(3，1)，所以正态曲线关于x＝3对称，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)， 所以