第9章 第7节 事件的独立性与二项分布-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（苏教版 新教材 新高考）

第七节　事件的独立性与二项分布 热点命题分析 学科核心素养 本节是高考的热点，主要命题点有：(1)相互独立事件的概率、条件概率，常以选择题、填空题的形式出现；(2)二项分布的概念、特征和相关计算，常以解答题的形式出现． 本节通过实际问题中二项分布的应用考查考生的数据分析、数学运算、数学建模核心素养． 授课提示：对应学生用书第216页 知识点一　条件概率与全概率公式 1．条件概率 (1)条件概率的定义 已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)． 当P(B)>0时，我们有P(A|B)＝．(其中，A∩B也可以记成AB) 类似地，当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝． (2)条件概率的性质 ①0≤P(B|A)≤1， ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． P(B|A)与P(A|B)易混淆为等同 前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．　2．全概率公式 一般地，若事件A1，A2，…，An两两互斥，且它们的和 Ai＝Ω，P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n．则对于Ω中的任意事件B，有P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)．这个公式称为全概率公式． 1．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0．75，连续两天为优良的概率是0．6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(　　) A．0．8　　 B．0．75　　 C．0．6　　 D．0．45 解析：在某天的空气质量为优良的条件下，随后一天的空气质量为优良的概率P＝＝0．8． 答案：A 2．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为________． 解析：设A＝{第一次拿到白球}，B＝{第二次拿到红球}， 则P(AB)＝×，P(A)＝， 所以P(B|A)＝＝． 答案： 知识点二　相互独立事件 1．定义：设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立． 2．性质： (1)若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)． (2)如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也相互独立． 互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．　 1．(2023·金华模拟)春节放假，甲回老家过节的概率为，乙、丙回老家过节的概率分别为，，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D． 解析：“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，所以P()＝，P()＝，P()＝．由题知A，B，C为相互独立事件，所以三人都不回老家过节的概率P( )＝P()P()P()＝××＝，所以至少有一人回老家过节的概率P＝1－＝． 答案：B 2．天气预报监测到在元旦假期甲地降雨概率是0．2，乙地降雨概率是0．3．假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________． 解析：设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为A＋B， 所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B) ＝P(A)P()＋P()P(B) ＝0．2×0．7＋0．8×0．3 ＝0．38． 答案：0．38 知识点三　独立重复试验与二项分布 独立重复试验 二项分布 定义 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验 在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率 计算公式 Ai(i＝1，2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An) 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n) 1．有3位同学参加某项测试，假设每位同学能通过测试的概率都是，且各人能否通过测试是相互独立的，则至少有二位同学能通过测试的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：所求概率P＝C××＋C×＝． 答案：C 2．设随机变量X～B，则P(X＝3)＝________． 解析：因为X～B，所以P(X＝3)＝C×＝． 答案： 授课提示：对应学生用书第218页 题型一　条件概率 1．(2023·桂林调研)某盒中装有10只乒乓球，其