第9章 第3节 二项式定理-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（苏教版 新教材 新高考）

第三节　二项式定理 热点命题分析 学科核心素养 本节是高考的重点，主要考查二项展开式的通项、二项式系数、特定项的系数、系数和问题、最值问题、参数问题等，一般以选择题和填空题的形式出现，难度中等． 本节主要考查学生的数学运算核心素养和转化与化归思想的应用． 授课提示：对应学生用书第201页 知识点一　二项式定理 1．二项式定理 (1)定理：公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)叫作二项式定理． (2)通项：Tr＋1＝Can－rbr为展开式的第 r＋1项． 2．二项式系数与项的系数 (1)二项式系数：二项展开式中各项的系数C(r∈)叫作第r＋1项的二项式系数． (2)项的系数：项的系数是该项中非字母因数部分，包含符号等，与二项式系数是两个不同的概念． 1．二项式的通项易误认为是第r项，实质上是第r＋1项． 2．易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C(r＝0，1，…，n)．　 1．(2020·北京卷)在(－2)5的展开式中，x2的系数为(　　) A．－5　　　　　　　　　 B．5 C．－10 D．10 解析：由二项式定理得(－2)5的展开式的通项Tr＋1＝C()5－r(－2)r＝C(－2)rx，令＝2，得r＝1，所以T2＝C(－2)x2＝－10x2，所以x2的系数为－10． 答案：C 2．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________． 解析：二项式系数之和2n＝64，所以n＝6，Tk＋1＝C·x6－k·＝Cx6－2k，当6－2k＝0，即当k＝3时为常数项，T4＝C＝20． 答案：20 知识点二　二项式系数的性质 1．二项式系数的性质 性质 内容 对称性 与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C＝C 增减性 当k＜时，二项式系数逐渐增大； 当k＞时，二项式系数逐渐减小 最大值 当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，最大值为Cn； 当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为Cn或Cn 2．各二项式系数的和 (a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n． 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1． 1．(2023·福州模拟)设n为正整数，的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为(　　) A．－112　　　 B．112 C．－60　　　 D．60 解析：依题意得，n＝8，所以展开式的通项Tr＋1＝Cx8－r·＝Cx8－4r(－2)r，令8－4r＝0，解得r＝2，所以展开式中的常数项为T3＝C(－2)2＝112． 答案：B 2．已知(1－2x)n展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则(1－2x)n(1＋x)的展开式中含x2项的系数为(　　) A．71 B．70 C．21 D．49 解析：因为奇数项的二项式系数之和为2n－1，所以2n－1＝64，n＝7，因此(1－2x)n(1＋x)的展开式中含x2项的系数为C(－2)2＋C(－2)＝70． 答案：B 3．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为________． 解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加除以2得a0＋a2＋a4＝8． 答案：8 授课提示：对应学生用书第202页 题型一　二项展开式中的特定项或系数 1．(2023·重庆模拟)二项式的展开式中的常数项是(　　) A．－45　　　　　　　　　 B．－10 C．45 D．65 解析：由二项式定理得Tr＋1＝C(－x2)r＝，令－5＝0得r＝2，所以常数项为C(－1)2＝45． 答案：C 2．(2023·南阳模拟)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是(　　) A．60 B．80 C．84 D．120 解析：(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是C＋C＋C＋…＋C． 因为C＋C＝C且C＝C，所以C＋C＝C＋C＝C， 所以C＋C＋C＝C＋C＝C， 以此类推，C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＝C＝＝120． 答案：D 3．(x2－x＋1)10展开式中x3项的系数为(　　) A．－210 B．210 C．30 D．－30 解析：(x2－x＋1)10＝[x2－(x－1)]10＝C(x2)10－C(x2)9(x－1)＋…－Cx2·(x－1)9＋C(x－1)10，所以含x3项的系数为：－