第8章 第8节 直线与圆锥曲线的位置关系-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（苏教版 新教材 新高考）

第八节　直线与圆锥曲线的位置关系 热点命题分析 学科核心素养 直线与圆锥曲线的综合应用问题(特别是一些经典问题，如：定值与定点、最值与取值范围、探索性问题)一直是高考热点问题．常常与向量、圆等知识交汇在一起命题，多以解答题形式出现，难度较大． 本节通过圆锥曲线的综合应用提升数学运算、逻辑推理等核心素养． 授课提示：对应学生用书第190页 知识点一　直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(或消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元二次方程， 即消去y，得ax2＋bx＋c＝0． (1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则 Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离． (2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点． 2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．　 1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　) A．相交　　　　　　　　 B．相切 C．相离 D．不确定 解析：直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)．又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交． 答案：A 2．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 解析：过(0，1)与抛物线y2＝4x相切的直线有2条，过(0，1)与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点． 答案：C 3．(易错题)直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是(　　) A．1 B．2 C．1或2 D．0 解析：因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点． 答案：A 知识点二　弦长公式 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB|＝|x1－x2| ＝· ＝ ·|y1－y2| ＝ ·． 1．(2023·张掖模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为，则|AB|＝(　　) A． B． C．5 D． 解析：过抛物线的焦点的弦长公式为|AB|＝p＋x1＋x2．∵p＝2，∴|AB|＝2＋＝． 答案：D 2．已知椭圆的方程是x2＋2y2－4＝0，则以M(1，1)为中点的弦所在直线方程是________． 解析：设过M(1，1)点的方程为y＝kx＋b，则有k＋b＝1，即b＝1－k，即y＝kx＋(1－k)，联立方程组则有(1＋2k2)x2＋(4k－4k2)x＋(2k2－4k－2)＝0，所以＝·＝1，解得k＝－，故b＝，所以y＝－x＋，即x＋2y－3＝0． 答案：x＋2y－3＝0 授课提示：对应学生用书第191页 题型一　直线与圆锥曲线的位置关系的判断 1．若直线y＝kx＋2与抛物线y2＝x有一个公共点，则实数k的值为(　　) A．　　　　　　　　　 B．0 C．或0 D．8或0 解析：由得ky2－y＋2＝0，若k＝0，直线与抛物线有一个交点，则y＝2， 若k≠0，则Δ＝1－8k＝0，∴k＝， 综上可知k＝0或． 答案：C 2．已知直线y＝kx＋t与圆x2＋(y＋1)2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是(　　) A．(－∞，－3)∪(0，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞) C．(－3，0) D．(－2，0) 解析：因为直线与圆相切，所以＝1，即k2＝t2＋2t．将直线方程代入抛物线方程并整理得x2－4kx－4t＝0，于是Δ＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t＞0，解得t＞0或t＜－3． 答案：A 3．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：由得(1－k2)x2－4kx－10＝0．设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 解得－＜k＜－1，即k的取值范围是． 答案：D 　直线与圆锥曲线位置关系的判定方法 代数法 即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程