第8章 第7节 抛物线-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（苏教版 新教材 新高考）

第七节　抛物线 热点命题分析 学科核心素养 抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与抛物线的位置关系是高考的命题热点，常以选择题和填空题的形式出现，直线与抛物线的位置关系常以解答题的形式出现． 本节主要考查考生的转化与化归思想的运用，提升考生数学运算、直观想象核心素养． 授课提示：对应学生用书第185页 知识点一　抛物线的定义 平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线叫作抛物线的准线． 抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．　 1．抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点P有(　　) A．0个　　　　　　　 B．1个 C．2个 D．4个 解析：设P(x1，y1)，则|PF|＝x1＋2＝5，y＝8x1，所以x1＝3，y1＝±2．故满足条件的点P有两个． 答案：C 2．(易错题)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________． 解析：抛物线y2＝8x的准线方程x＝－2，因为点P到y轴的距离为4，所以点P到准线的距离为6，由抛物线定义知点P到焦点的距离为6． 答案：6 知识点二　抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0，0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋ 抛物线焦点弦的几个常用结论 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的弦， 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： (1)x1x2＝，y1y2＝－p2． (2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)． (3)以弦AB为直径的圆与准线相切． (4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p．　 1．(易错题)抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为(　　) A．　　　　　　　　　　 B．－ C．4 D．－4 解析：由题意知抛物线的标准方程为x2＝y，所以准线方程y＝－＝1，解得a＝－． 答案：B 2．过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是(　　) A．y2＝－x或x2＝y B．y2＝x或x2＝y C．y2＝x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－y 解析：设抛物线的标准方程为y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－，m＝，所以y2＝－x或x2＝y． 答案：A 3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝________． 解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1．根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8． 答案：8 授课提示：对应学生用书第186页 题型一　抛物线的标准方程及几何性质 1．(2023·宜春模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M是抛物线C上一点，圆M与y轴相切，且被直线x＝截得的弦长为p，若|MF|＝，则抛物线的方程为(　　) A．y2＝4x B．y2＝2x C．y2＝8x D．y2＝x 解析：设圆M与y轴相切于点N，直线x＝与圆M交于A，B两点，如图所示，设M(x0，y0)，则|MN|＝|MA|＝|MB|＝x0，|AB|＝p，所以＋＝x，解得x0＝p，由抛物线的定义知，|MF|＝x0＋，因为|MF|＝，所以＝p＋p，即p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x． 答案：A 2．(2020·全国Ⅰ卷)已知A为抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，点A到点C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(　　) A．2　　　　　　　　 B．3 C．6 D．9 解析：设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x＋＝12．又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，所以9＋＝12，解得p＝6． 答案：C 3．(2023·沈阳模拟)抛物线C：y2＝4x的焦点为F，N为准线上一点，M为y轴上一点，∠MNF为直角，若线段MF的中点E在抛物线C上，则△MNF的面积为(　　) A． B． C． D．3 解析：如图所示，不妨