第8章 第6节 双曲线-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（苏教版 新教材 新高考）

第六节　双曲线 热点命题分析 学科核心素养 本节主要考查双曲线的定义、标准方程和几何性质，其中离心率和渐近线问题是高考考查的重点，以选择题和填空题为主，难度中等． 本节主要考查考生数形结合思想的运用，提升数学运算、直观想象核心素养． 授课提示：对应学生用书第181页 知识点一　双曲线的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作双曲线，两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距． 双曲线定义的四点辨析 (1)当0＜2a＜|F1F2|时， 动点的轨迹才是双曲线． (2)当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线． (3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线． (4)当2a＞|F1F2|时，动点的轨迹不存在． 1．过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是(　　) A．28　　　　　　　　　 B．14－8 C．14＋8 D．8 解析：根据双曲线定义可知，|PF2|－|PF1|＝4，|QF2|－|QF1|＝4，所以|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝8， ∴|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝2|PQ|＋8＝14＋8． 答案：C 2．(易错题)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是_______________________________________． 解析：由|PF1|－|PF2|＝6＜|F1F2|＝8，得a＝3，又c＝4，则b2＝c2－a2＝7，所以所求点的轨迹是双曲线－＝1的下支． 答案：双曲线－＝1的下支 知识点二　双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 顶点坐标： A1(－a，0)，A2(a，0) 顶点坐标： A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 实虚轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长 1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b． 2．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a． 3．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝，其中θ为∠F1PF2．　 1．(2023·昆明模拟)已知双曲线C：－＝1，则C的离心率为(　　) A．　　　　　　 B． C． D． 解析：因为a＝2，b＝，所以c＝＝3，所以双曲线C的离心率e＝＝． 答案：B 2．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(　　) A．x±y＝0 B．x±y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0 解析：由题知，·＝，整理得＝， 所以双曲线C2的渐近线方程为y＝±x＝±x即x±y＝0． 答案：A 3．经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________． 解析：设双曲线的方程为－＝±1(a＞0)， 把点A(3，－1)代入，得a2＝8(舍负)， 故所求方程为－＝1． 答案：－＝1 授课提示：对应学生用书第182页 题型一　双曲线的定义及标准方程 1．(多选)(2020·新高考Ⅰ卷)已知曲线C：mx2＋ny2＝1(　　) A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为 C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝± x D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线 解析：对于A，当m＞n＞0时，有＞＞0，方程化为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确； 对于B，当m＝n＞0时，方程化为x2＋y2＝，表示半径为 的圆，故B错误； 对于C，当m＞0，n＜0时，方程化为－＝1，表示焦点在x轴上的双曲线，其中a＝，b＝ ，渐近线方程为y＝± x；当m＜0，n＞0时，方程化为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线，其中a＝ ，b＝ ，渐近线方程为y＝± x，故C正确； 对于D，当m＝0，n＞0时，方程化为y＝± ，表示两条平行于x轴的直线，故D正确． 答案：ACD 2．(2020·全国Ⅰ卷)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且