第8章 第5节 椭圆-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（苏教版 新教材 新高考）

第五节　椭圆 热点命题分析 学科核心素养 椭圆的定义、标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系一直是高考的命题热点，直线与椭圆的位置关系常与向量、圆、三角形等知识综合考查，多以解答题的形式出现，难度中等偏上． 本节主要考查考生的数学运算、直观想象核心素养及考生对数形结合思想、转化与化归思想的应用． 授课提示：对应学生用书第176页 知识点一　椭圆的定义 平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆．两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数． (1)当2a>|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆． (2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是线段． (3)当2a<|F1F2|时，P点不存在． 椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，当2a<|F1F2|时，不存在轨迹．　 1．若F1(－3，0)，F2(3，0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1或＋＝1 解析：设点P的坐标为(x，y)，因为|PF1|＋|PF2|＝10＞|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝＝4，故点P的轨迹方程为＋＝1． 答案：A 2．(易错题)平面内一点M到两定点F1(0，－9)，F2(0，9)的距离之和等于18，则点M的轨迹是________． 解析：由题意知|MF1|＋|MF2|＝18，且|F1F2|＝18，即|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，所以点M的轨迹是线段F1F2． 答案：线段F1F2 知识点二　椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 性质 范围 x∈[－a，a]，y∈[－b，b] x∈[－b，b]，y∈[－a，a] 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 离心率 e＝，且e∈(0，1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ． 1．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是(　　) A．　　　　　　　　 B． C．2－ D．－1 解析：由题意可知，|PF2|＝2c，|PF1|＝2c． 因为|PF1|＋|PF2|＝2a，∴2c＋2c＝2a， 解得＝－1． 答案：D 2．(易错题)若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为(　　) A．＋y2＝1 B．＋＝1 C．＋y2＝1或＋＝1 D．以上答案都不对 解析：直线与坐标轴的交点为(0，1)，(－2，0)， 由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1， ∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1． 当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1， ∴a2＝5，所求椭圆标准方程为＋＝1． 答案：C 3．椭圆＋＝1的焦距为4，则m＝________． 解析：当焦点在x轴上时，10－m＞m－2＞0，10－m－(m－2)＝4，所以m＝4．当焦点在y轴上时，m－2＞10－m＞0，m－2－(10－m)＝4，所以m＝8．所以m＝4或8． 答案：4或8 授课提示：对应学生用书第177页 题型一　椭圆的定义与标准方程 1．(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A．13　　　　　　　　 B．12 C．9 D．6 解析：∵M在椭圆C：＋＝1上，且a＝3，∴|MF1|＋|MF2|＝6， ∵≥ ，∴|MF1|·|MF2| ≤＝9， 当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立． 答案：C 2．(多选)(2023·海南模拟)设椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m(0＜m＜ )与椭圆交于A，B两点，则(　　) A．|AF|＋|BF|为定值 B．△ABF周长的取值范围是[6，12] C．当m＝时，△ABF为直角三角形 D．当m＝1时，△ABF的面积为 解析：设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，所以|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|为定值6，A正确；△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，因为|AF|＋|BF|为定值6，易知|