第8章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（苏教版 新教材 新高考）

第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 热点命题分析 学科核心素养 本节是高考的重点，主要考查直线与圆的位置关系、弦长问题、切线问题、圆与圆的位置关系，一般以选择题和填空题的形式出现，有时与椭圆、双曲线、抛物线交汇命题． 本节主要考查考生的数学运算、直观想象核心素养和数形结合思想的运用． 授课提示：对应学生用书第172页 知识点一　直线与圆的位置关系 设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由 消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ． 　　　　方法 位置关系　　　 几何法 代数法 相交 d＜r Δ＞0 相切 d＝r Δ＝0 相离 d＞r Δ＜0 1．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　) A．[－3，－1]　　　　　 B．[－1，3] C．[－3，1] D．(－∞，－3] 解析：由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为， ∴≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1． 答案：C 2．直线x＋y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相交于A，B两点，则弦|AB|＝(　　) A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． 解析：∵圆心(1，2)到直线x＋y－2＝0的距离d＝， ∴|AB|＝2＝． 答案：D 3．(易错题)已知圆C：x2＋y2＝9，过点P(3，1)作圆C的切线，则切线方程为________________________________________． 解析：由题意知P在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x＝3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k，所以切线方程为y－1＝k(x－3)，所以kx－y＋1－3k＝0，所以＝3，所以k＝－，所以切线方程为4x＋3y－15＝0．综上，切线方程为x＝3或4x＋3y－15＝0． 答案：x＝3或4x＋3y－15＝0 知识点二　圆与圆的位置关系 设两个圆的半径分别为R，r，(R＞r)，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 d＞R＋r d＝R＋r R－r＜ d＜R＋r d＝R－r d＜R－r 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 1．两相交圆的公共弦所在直线的方程 设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0　①，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0　②，若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0　③，方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程． 2．过已知两圆交点的圆系方程 过已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(不含圆C2)，其中λ为参数且λ≠－1．　 1．圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 解析：圆x2－4x＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝4，其圆心坐标为(2，0)，半径为2； 圆x2＋y2＋4x＋3＝0，即(x＋2)2＋y2＝1，其圆心坐标为(－2，0)，半径为1， 则两圆的圆心距为4，两圆半径和为3， 因为4＞3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条． 答案：D 2．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为2，则a＝________． 解析：两圆公共弦所在直线方程为(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2－4)＝0，得y＝． 所以＋()2＝22，得a＝1． 答案：1 授课提示：对应学生用书第173页 题型一　直线与圆的位置关系 1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　) A．相交　　　　　　　　　 B．相切 C．相离 D．不确定 解析：由 消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0， 因为Δ＝16m2＋20＞0，所以直线l与圆C相交． 答案：A 2．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：由圆的方程知圆心坐标为(3，3)，半径为3，如图所示，因为圆心到直线的距离为＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，故圆上到直线的距离为1的点有3个． 答案：C 3．(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线A