第8章 第3节 圆的方程-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（苏教版 新教材 新高考）

第三节　圆的方程 热点命题分析 学科核心素养 本节是命题的热点，主要考查圆的方程，多以选择题和填空题形式考查，难度中等． 本节通过圆的方程的求法考查数学运算和直观想象核心素养． 授课提示：对应学生用书第169页 知识点一　圆的定义和圆的方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆 方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 充要条件： D2＋E2－4F＞0 圆心坐标： 半径r＝ 二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＝b2－4ac相类似，表述的都是一次项的平方和减去二次项与常数项积的4倍，只有把条件理解了、记清楚了，才不会陷入命题人设置的这个“陷阱”．　 1．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是________． 解析：将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得＋(y－1)2＝－2． 由其表示圆可得－2＞0，解得m＜－2或m＞2． 答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞) 2．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________． 解析：由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2．当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5．当a＝2时，方程不表示圆． 答案：(－2，－4)　5 3．圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1，3)，则圆C的方程为________． 解析：设圆心坐标为C(a，0)， 因为点A(－1，1)和B(1，3)在圆C上， 所以|CA|＝|CB|， 即＝， 解得a＝2， 所以圆心为C(2，0)， 半径|CA|＝＝， 所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10． 答案：(x－2)2＋y2＝10 知识点二　点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)d＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外； (2)d＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)d＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内． 1．(2023·南昌模拟)若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是(　　) A．(－1，1)　　　　　　 B．(－，) C．(－，) D． 解析：∵原点(0，0)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部， ∴(0－m)2＋(0＋m)2＜4，解得－＜m＜． 答案：C 2．若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________． 解析：因为点(1，1)在圆内， 所以(1－a)2＋(a＋1)2＜4，即－1＜a＜1． 答案：(－1，1) 授课提示：对应学生用书第170页 题型一　圆的方程求法 　求满足下列条件的圆的方程： (1)过点A(4，1)的圆C与直线l：x－y－1＝0相切于点B(2，1)； (2)已知圆C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6． [解]　(1)法一：由已知kAB＝0， 所以AB的中垂线方程为x＝3．　① 过点B且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2)， 即x＋y－3＝0，　② 联立①②，解得 所以圆心坐标为(3，0)， 半径r＝＝， 所以圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2． 法二：设圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， 因为点A(4，1)，B(2，1)都在圆上， 故 又因为＝－1， 解得a＝3，b＝0，r＝， 故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝2． (2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)， 将P，Q两点的坐标分别代入得 又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0．　　　③ 设x1，x2是方程③的两根， 由|x1－x2|＝6， 即(x1＋x2)2－4x1x2＝36， 得D2－4F＝36，　　　④ 由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8， 或D＝－6，E＝－8，F＝0． 故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0． 　求圆的方程的两种方法 (1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a