第7章 第7节 立体几何中的向量方法-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（苏教版 新教材 新高考）

第七节　立体几何中的向量方法 热点命题分析 学科核心素养 利用向量法求空间角和空间距离是高考的重点，考查频率较高，线、面的平行和垂直问题一般不用向量法求解，但向量法的使用有时可以加快求解速度，主要以解答题的形式出现，难度中等． 本节通过对空间角的求解、空间向量的应用，考查考生转化与化归思想的应用，提升考生的直观想象、数学运算、逻辑推理核心素养． 授课提示：对应学生用书第155页 知识点一　空间角的求法 1．设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，ν，则 (1)线线平行：l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R； 线面平行：l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0； 面面平行：α∥β⇔u∥ν⇔u＝kν，k∈R． (2)线线垂直：l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0； 线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R； 面面垂直：α⊥β⇔u⊥ν⇔u·ν＝0． 2．空间角的求法 (1)异面直线所成的角 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 a与b的夹角β l1与l2所成的角θ 范围 (0，π) 求法 cos β＝ cos θ＝|cos β|＝ (2)直线与平面所成的角 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈a，n〉|＝． (3)二面角的大小 ①如图a，AB，CD是二面角α­l­β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉． ②如图b，c，n1，n2分别是二面角α­l­β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos 〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)． 知识点二　空间距离的求法 　如图(1)，P为直线l外一点，A是l上任意一点，在点P和直线l所确定的平面内，取一个与直线l垂直的向量n，则·n＝|||n|·cos θ，其中θ＝〈，n〉，从而点P到直线l的距离为d＝． 我们还可以借助直线l的方向向量来求点到直线的距离． 如图(2)，P是直线l外一点，PO⊥l，O为垂足，A是l上任意一点，设e是直线l的方向向量，记φ＝〈，e〉，则cos φ＝，故点P到直线l的距离为d＝||·sin φ． 利用空间向量法求二面角时易忽视判断二面角大小，从而致误．解题时注意结合图形判断二面角的平面角是锐角还是钝角，从而在下结论时作出正确判断．　 1．已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为________． 解析：cos 〈m，n〉＝＝＝，即〈m，n〉＝45°，所以两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°． 答案：45°或135° 2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为________． 解析：如图建立空间直角坐标系D­xyz，设DA＝1，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，则＝(－1，1，0)，＝，设异面直线DE与AC所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈，〉|＝． 答案： 3．正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC­A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为________． 解析：以C为原点建立空间直角坐标系，如图所示，得下列坐标：A(2，0，0)，C1(0，0，2)．点C1在侧面ABB1A1内的射影为点C2． 答案： 授课提示：对应学生用书第157页 题型一　异面直线所成的角 　(2023·天津模拟)如图所示，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，AE⊥底面ABCD，AE∥CF，AD＝3，AB＝BC＝AE＝2，CF＝1． (1)求证：BF∥平面ADE； (2)求直线BE与直线DF所成角的余弦值； (3)求点D到直线BF的距离． (1)[证明]　∵AE∥CF，AE⊄平面BFC，CF⊂平面BFC， ∴AE∥平面BCF， ∵AD∥BC，同理可得AD∥平面BFC， 又AD∩AE＝A，∴平面BCF∥平面ADE， ∵BF⊂平面BFC，∴BF∥平面ADE． (2)[解]　以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，3，0)，E(0，0，2)，F(2，2，1)， 则＝(－2，0，2)，＝(2，－1，1)， cos 〈，〉＝＝＝－ ． ∴直线BE与直线DF所成角的余弦值为． (3)[解]　根据(2)可知＝(0，2，1)，＝(2，－1，1)， cos 〈，〉＝＝＝， ∴sin 〈，〉＝ ＝， ||sin 〈，〉＝×＝． 　向量法求异面直线所成角的两种方法及一个注意点 (1)两种方法： ①基向量法：利用线性运算． ②坐标法