第7章 第6节 空间向量及其运算-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（苏教版 新教材 新高考）

第六节　空间向量及其运算 热点命题分析 学科核心素养 空间向量及其运算是每年高考命题的热点，独立考查较少，多与空间角、距离的计算综合考查，难度中等． 本节通过空间向量的运算考查考生的直观想象与数学运算核心素养． 授课提示：对应学生用书第151页 知识点一　空间向量的有关概念、定理 1．空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 共面向量 平行于同一平面的向量 2．空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa． (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb． (3)空间向量基本定理：如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xe1＋ye2＋ze3，其中{e1，e2，e3}称为空间的一个基底． 3．两个向量的数量积 (1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|·cos 〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c． 1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线⇔＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点． 2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面⇔＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．　 A．－a＋b＋c B．a＋b＋c C．－a－b－c D．－a－b＋c 解析：C1M＝C1C＋＝C1C＋(＋)＝A1A＋＋＝－a－b－c． 答案：C 2．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则(　　) A．m，n，p共线　　　　 B．m与p共线 C．n与p共线 D．m，n，p共面 解析：由于(a＋b)＋(a－b)＝2a，即m＋n＝2p，即p＝mn，又m与n不共线，所以m，n，p共面． 答案：D 3．正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________． 解析：||2＝EF2＝(＋＋)2 ＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·) ＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2， 所以||＝，所以EF的长为． 答案： 知识点二　空间向量的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量表示 坐标表示 数量 积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a＝λb(b≠0) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 垂直 a·b＝0 (a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a| 夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos 〈a，b〉＝ 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b(b≠0)⇔这一形式不能随便写成＝＝．只有在b与三个坐标轴都不平行时，才能这样写，这是因为：若b与坐标平面xOy平行，则b3＝0，这样就无意义了．　 1．(易错题)在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　) A．垂直　　　　　　　 B．平行 C．异面 D．相交但不垂直 解析：由题意得，＝(－3，－3，3)，＝(1，1，－1)，所以＝－3，所以与共线，又AB与CD没有公共点，所以AB∥CD． 答案：B 2．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________． 解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设DA＝2，则A(2，0，0)，M(0，0，1)，O(1，1，0)，N(2，1，2)，所以＝(－2，0，1)，＝(1，0，2)，·＝－2＋0＋2＝0，所以AM⊥ON． 答案：垂直 授课提示：对应学生用书第153页 题型一　空间向量的线性运算 1．已知三棱锥O­ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则等于(　　) A．(b＋c－a) B．(a＋b＋c) C．(a－b＋c) D．(c－a－b) 解析：＝＋＋＝(c－a－b)． 答案：D 2．如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： (1)＝_____