第7章 第5节 直线、平面垂直的判定及其性质-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（苏教版 新教材 新高考）

第五节　直线、平面垂直的判定及其性质 热点命题分析 学科核心素养 本节是高考的热点，主要考查直线与平面以及平面与平面垂直的判定和性质，常出现在解答题的第(1)问中，难度中等． 本节通过线、面垂直的判定及性质考查考生对转化与化归思想的应用，提升直观想象、逻辑推理核心素养． 授课提示：对应学生用书第145页 知识点一　直线与平面垂直 1．直线和平面垂直的定义 如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称直线a与平面α垂直，记作a⊥α． 2．判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 1．直线与平面垂直的定义常常逆用，即a⊥α，b⊂α⇒a⊥b． 2．若平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面． 3．垂直于同一条直线的两个平面平行． 4．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 5．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． [注意] 证明线面垂直时，易忽视“面内两条直线相交”这一条件．　 1．(2023·深圳模拟)若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是假命题的为(　　) A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面β B．过点P垂直于直线l的直线在平面α内 C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内 D．过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β 解析：由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，因此也平行于平面β．因此A正确．过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α，不一定在平面α内，因此B不正确．根据面面垂直的性质定理知，选项C，D正确． 答案：B 2．(2023·唐山模拟)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是(　　) A．①②　　　　　　　　 B．②④ C．①③ D．②③ 解析：对于①，易证AB与CE所成角为45°，则直线AB与平面CDE不垂直；对于②，易证AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，则AB⊥平面CDE；对于③，易证AB与CE所成角为60°，则直线AB与平面CDE不垂直；对于④，易证ED⊥平面ABC，则ED⊥AB，同理EC⊥AB，可得AB⊥平面CDE． 答案：B 3．“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面α垂直”的________条件． 解析：根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面α垂直”，反之则可以，所以应是必要不充分条件． 答案：必要不充分 知识点二　平面与平面垂直 1．平面与平面垂直的定义 一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直． 2．判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视． 面面垂直的性质定理在使用时易忘一个平面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误．　 1．下列命题中不正确的是(　　) A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面β B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β D．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ 解析：若平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊂平面β或直线l与平面β相交．故选项A错误． 答案：A 2．(2023·苏州模拟)在三棱锥P­ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O． (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心； (2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心． 解析：(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP， 在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB， 所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心． (2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G． 因为PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P， 所以PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，所以PC⊥AB， 因为AB⊥PO，PO∩PC＝P， 所以AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC， 所以AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高． 同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心． 答案：(1)外　(2)垂 授课提示：对应学生用书第147页 题型一