第7章 第2节 空间图形的表面积和体积-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（苏教版 新教材 新高考）

第二节　空间图形的表面积和体积 热点命题分析 学科核心素养 空间几何体的表面积和体积一直是高考的重点和热点，主要考查几何体的表面积和体积的计算，与球有关的切、接问题，一般以选择题和填空题的形式出现，难度中等． 本节通过空间几何体的表面积和体积考查转化与化归思想的应用，提升考生直观想象和数学运算核心素养． 授课提示：对应学生用书第132页 知识点　柱、锥、台和球的面积和体积 1．直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台的概念，侧面展开图及侧面积 一些简单的多面体可以沿着多面体的某些棱将其剪开而成平面图形，这个平面图形叫作该多面体的平面展开图． 名称 概念 展开图举例及说明 直棱柱与 正棱柱 侧棱和底面垂直的棱柱叫作直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱 直棱柱的侧面展开图是矩形 正棱锥 底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心的棱锥叫作正棱锥 正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形 正棱台 正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫作正棱台 正n棱台的侧面展开图是n个全等的等腰梯形 2．柱、锥、台和球的侧面积和体积 面积 体积 圆柱 S侧＝2πrl V＝Sh＝πr2h 圆锥 S侧＝πrl V＝Sh ＝πr2h ＝πr2 圆台 S侧＝π(r＋r′)l V＝(S＋S′＋)h ＝π(r2＋r′2＋rr′)h 直棱柱 S侧＝ch V＝Sh 正棱锥 S侧＝ch′ V＝Sh 正棱台 S侧＝(c＋c′)h′ V＝(S＋S′＋)h 球 S球面＝4πR2 V＝πR3 3．几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和． 1．求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错． 2．易混侧面积与表面积的概念．　 1．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A．12π　　　 B．π　　　 C．8π　　　 D．4π 答案：A 2．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为________． 答案：12π 3．如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________． 解析：设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积V1＝××a×b×c＝abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－abc＝abc，所以V1∶V2＝1∶47． 答案：1∶47 授课提示：对应学生用书第133页 题型一　空间几何体的表面积 1．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半且侧面积是32π，则母线长为(　　) A．2　　　 B．2　　　 C．4　　　 D．8 解析：圆台的轴截面如图， 由题意知，l＝(r＋R)，S圆台侧＝π(r＋R)l＝π·2l·l＝32π，∴l＝4． 答案：C 2．若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是(　　) A． B． C． D． 解析：如图所示，正方体的A′，C′，D，B的四个顶点可构成一个正四面体，设正方体边长为a， 则正四面体边长为a． ∴正方体表面积S1＝6a2， 正四面体表面积为 S2＝4××(a)2＝2a2， ∴＝＝． 答案：A 　空间几何体表面积的求法 多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． 题型二　空间几何体的体积 1．(2022·新高考Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148．5 m时，相应水面的面积为140．0 km2；水位为海拔157．5 m时，相应水面的面积为180．0 km2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148．5 m上升到157．5 m时，增加的水量约为(≈2．65)(　　) A．1．0×109 m3　　　　　 B．1．2×109 m3 C．1．4×109 m3 D．1．6×109 m3 解析：140 km2＝140×106 m2，180 km2＝180×106 m2，由棱台体积公式V＝(S＋S′＋)h可得V增加水量＝×(140＋180＋)×106×(157．5－148．5)＝3×(320＋60)×106≈3×(320＋60×2．65)×106＝1 437×106≈1．4×109(m3)． 答案：C 2．(2023·资阳模拟)已知圆柱的底面半径为2，高为3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形ABCD(如图)．若底面圆的弦AB所对的圆心角为，则圆