第6章 第2节 基本不等式-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（苏教版 新教材 新高考）

第二节　基本不等式 热点命题分析 学科核心素养 本节是高考的热点，主要考查利用基本不等式求最值、证明不等式、求参数的取值范围等，常与函数结合命题，解题时要注意应用基本不等式的三个前提条件． 本节通过基本不等式及其应用考查考生的数学运算核心素养． 授课提示：对应学生用书第125页 知识点　基本不等式 1．基本不等式≤ (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0． (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数． 2．利用基本不等式求最值 已知x＞0，y＞0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)． (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)． 1．使用基本不等式求最值时，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误． 3．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致． 1．(易错题)下列结论正确的个数为(　　) ①函数y＝x＋的最小值是2； ②函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4； ③“x＞0且y＞0”是“＋≥2”的充要条件； ④若a＞0，则a3＋的最小值为2； ⑤不等式a2＋b2≥2ab与≥有相同的成立条件． A．0　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 解析：①当x＜0时，y≤－2，故①错误；②cos x不可能为2，所以等号不可能成立，故②错误；③当x＜0且y＜0时，不等式＋≥2也成立，故③错误；④2不是定值，故④错误；⑤a2＋b2≥2ab对于a，b∈R都成立，而≥只有当a≥0，b≥0才成立，故⑤错误． 答案：A 2．设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80 B．77 C．81 D．82 解析：∵x＞0，y＞0，∴xy≤，∴xy≤81，当且仅当x＝y＝9时取等号， ∴xy的最大值为81． 答案：C 3．(2023·济宁调研)若正数x，y满足＋＝1，则x＋3y的最小值为(　　) A．24 B．18 C．12 D．6 解析：由＋＝1得x＋3y＝(x＋3y)＝＋＋6≥2＋6＝12，当且仅当＝，且＋＝1，即x＝6，y＝2时等号成立，所以x＋3y的最小值为12． 答案：C 4．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2． 解析：设矩形场地的长为x m，宽为y m，则x＋y＝10，所以矩形场地的面积S＝xy≤＝25，当且仅当x＝y＝5时，S取得最大值25 m2． 答案：25 授课提示：对应学生用书第126页 题型一　利用基本不等式求最值 　　利用基本(均值)不等式求最值，一般是已知两个非负数的和为定值求其乘积的最大值，或已知两个非负数的乘积为定值求其和的最小值，是每年高考的重点内容．常见的命题角度有： (1)通过配凑法求最值；(2)通过常数代换法求最值；(3)通过消元法求最值． 角度(一)　通过配凑法求最值 　已知0＜x＜1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________； [解析]　由题意，x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·＝，当且仅当 3x＝4－3x，即x＝时，取等号． [答案]　 　代数式最值的求解方法——配凑法 配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项、变系数、凑因子等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键． [注意]　变形的等价性及基本不等式应用的前提条件． 角度(二)　通过常数代换法求最值 　(2023·武汉模拟)已知x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值为(　　) A．12　　　　　　　　 B．16 C．20　　　　　　　　 D．24 [解析]　由题意x＋y＝(x＋y)＝1＋＋＋9≥1＋2＋9＝16，当且仅当时取等号． [答案]　B 　常数代换法求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)． (2)把确定的定值(常数)变形为1． (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式． (4)利用基本不等式求解最值． 角度(三)　通过消元法求最值 　(1)(2023·上饶模拟)已知正数a，b，c满足2a－b＋c＝0，则的最大值为(　　) A．8 B．2 C． D． (2)已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是________． [解析]　(1)因为a，b，c都是正数，且满足2a－b＋c＝0，所以b＝2a＋c，所以＝＝＝