第5章 第4节 数列求和-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（苏教版 新教材 新高考）

第四节　数列求和 热点命题分析 学科核心素养 本节是高考的热点，其中等差、等比数列的通项与求和、数列与不等式的综合、以数学文化为背景的数列题是高考命题的热点，多以解答题的形式呈现． 本节通过数列求和以及数列的综合应用提升考生的数学运算和逻辑推理核心素养． 授课提示：对应学生用书第116页 知识点　数列前n项和的求法 1．公式法 (1)等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋d． (2)等比数列的前n项和公式 ①当q＝1时，Sn＝na1； ②当q≠1时，Sn＝＝． 2．分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个能求和的数列，再求解． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 4．倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． 5．错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． 6．并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 1．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如an，an＋1的式子应进行合并． 2．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项． 1．在数列{an}中，an＝，若{an}的前n项和为，则项数n为(　　) A．2 022　　　　　　　　 B．2 021 C．2 020 D．2 019 解析：an＝＝－，Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝＝，所以n＝2 021． 答案：B 2．已知数列：1，2，3，…，，…，则其前n项和关于n的表达式为________． 解析：设所求的数列前n项和为Sn，则 Sn＝(1＋2＋3＋…＋n)＋＋＋…＋＝＋1－． 答案：＋1－ 3．已知数列{an}的前n项和为Sn且an＝n·2n，则Sn＝________． 解析：Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，① 所以2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，② ①－②得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝－n×2n＋1，所以Sn＝(n－1)2n＋1＋2． 答案：(n－1)2n＋1＋2 4．(易错题)求1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1(x≠0且x≠1)的和． 解：设Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1，① 则xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，② ①－②得：(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn＝－nxn，所以Sn＝－． 授课提示：对应学生用书第117页 题型一　分组转化法求和 　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足关于x的不等式a1x2－S2x＋2＜0的解集为(1，2)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足bn＝a2n＋2an－1，求数列{bn}的前n项和Tn． [解]　(1)设等差数列{an}的公差为d， 因为关于x的不等式a1x2－S2x＋2＜0的解集为(1，2)， 所以＝1＋2＝3，得a1＝d， 又易知＝2，所以a1＝1，d＝1． 所以数列{an}的通项公式为an＝n． (2)由(1)可得，a2n＝2n，2an＝2n． 因为bn＝a2n＋2an－1， 所以bn＝2n－1＋2n， 所以数列{bn}的前n项和Tn＝(1＋3＋5＋…＋2n－1)＋(2＋22＋23＋…＋2n) ＝＋＝n2＋2n＋1－2． 　分组转化法求和的常见类型 (2021·新高考Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ (1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式； (2)求{an}的前20项和． 解：(1)因为bn＝a2n，所以b1＝a2＝a1＋1＝2， b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝a1＋1＋3＝a1＋4＝5． 由题意得a2n＋1＝a2n＋2，a2n＋2＝a2n＋1＋1， 所以a2n＋2＝a2n＋3，即bn＋1＝bn＋3， 所以数列{bn}是以2为首项，3为公差的等差数列， 所以bn＝2＋(n－1)×3＝3n－1． (2)当n为奇数时，an＝an＋1－1． 设数列{an}的前n项和为Sn， 则S20＝a1＋a2＋…＋a20 ＝(a1＋a3＋…＋a19)＋(a2＋a4＋…＋a20) ＝[(a2－1)＋(a4－1)＋…＋(a20－1)]＋(a2＋a4＋…＋a20) ＝2(a2＋a4＋…＋a20)－10， 由(1)可知a2＋a4＋…＋a20＝b1＋b2＋…＋b10＝10×2＋×3＝155， 故S20＝2×155－10＝300，即{an}的前20项和为300． 题型二　裂项相消法求和 　数列{an}满足a1＝1, ＝an＋1(n∈N*)． (1)求证：数列{a}是等差数列，并求