第5章 第3节 等比数列及其前n项和-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（苏教版 新教材 新高考）

第三节　等比数列及其前n项和 热点命题分析 学科核心素养 本节是高考的考查热点，主要考查等比数列的基本运算和性质，等比数列的通项公式和前n项和公式，尤其要注意以数学文化为背景的数列题，题型既有选择题、填空题，也有解答题． 本节通过等比数列通项公式及其前n项和公式、等比数列性质的应用，考查对函数与方程、转化与化归和分类讨论思想的应用，提升考生的数学运算和逻辑推理核心素养． 授课提示：对应学生用书第112页 知识点一　等比数列的概念及通项 1．等比数列的概念 (1)一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数)，或＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫作a与b的等比中项，其中G＝±． 2．等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1； 通项公式的推广：an＝amqn－m． (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝． 1．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误． 2．等比数列{an}中任何一项an≠0．　 1．已知数列{an}是等比数列，且a1＝，a4＝－1，则{an}的公比q为(　　) A．2　　　　　　　　 B．－ C．－2 D． 解析：由＝q3＝－8得q＝－2． 答案：C 2．(易错题)已知x，2x＋2，3x＋3是一个等比数列的前三项，则x的值为________． 解析：因为x，2x＋2，3x＋3是一个等比数列的前三项，所以(2x＋2)2＝x(3x＋3)， 即x2＋5x＋4＝0， 解得x＝－1或x＝－4． 当x＝－1时，数列的前三项为－1，0，0， 不是等比数列，舍去． 答案：－4 3．(易错题)设数列{an}是等比数列，前n项和为Sn，若S3＝3a3，则公比q＝________． 解析：当q≠1时，由题意，＝3a1q2， 即1－q3＝3q2－3q3， 整理得2q3－3q2＋1＝0， 解得q＝－． 当q＝1时，S3＝3a3，显然成立． 故q＝－或1． 答案：－或1 知识点二　等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和． (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an． (2)等比数列{an}的单调性： 当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列{an}是递增数列； 当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列{an}是递减数列； 当q＝1时，数列{an}是常数列． 1．相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为 qm． 2．若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列． 3．当q≠－1或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn．　 1．等比数列{an}各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝(　　) A．12 B．10 C．8 D．2＋log35 解析：∵数列{an}为等比数列， ∴a5a6＋a4a7＝2a1a10＝18，a1a10＝9， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 ＝log3(a1a2…a10)＝log3(a1a10)5 ＝5log39＝10． 答案：B 2．在3与192中间插入两个数使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 解析：设该数列的公比为q，由题意知， 192＝3×q3，q3＝64，所以q＝4． 所以插入的两个数分别为3×4＝12，12×4＝48． 答案：12，48 3．等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则{an}的通项公式an＝________． 解析：因为＝，所以＝－，因为S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，所以q5＝－，q＝－，则an＝－1×＝－． 答案：－ 授课提示：对应学生用书第113页 题型一　等比数列的基本问题 1．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　) A．14　　　　　　　 B．12 C．6 D．3 解析：法一：设{an}的公比为q， 则 得＝＝q(1－q)＝，4q2－4q＋1＝0，即(2q－1)2＝0，∴q＝，代入①得a1＝96，故a6＝a1q5＝96×＝3． 法二