第5章 第2节 等差数列及其前n项和-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（苏教版 新教材 新高考）

第二节　等差数列及其前n项和 热点命题分析 学科核心素养 本节是高考的考查热点，主要考查等差数列的基本运算和性质，等差数列的通项公式和前n项和公式，尤其要注意以数学文化为背景的数列题，题型既有选择题、填空题，也有解答题． 本节通过对等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列性质的应用，考查考生对函数与方程思想的应用，提升考生的数学运算和逻辑推理核心素养． 授课提示：对应学生用书第107页 知识点一　等差数列的概念与通项 1．等差数列的概念 (1)一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示． 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)，或an－an－1＝d(n≥2，d为常数)． (2)若a，A，b成等差数列，则A叫作a，b的等差中项，且A＝． 2．等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d． 通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)． (2)等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋d(其中n∈N*，a1为首项，d为公差，an为第n项)． 要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．　 1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，a8＋a10＝28，则S9＝(　　) A．36　　　　　　　　　 B．72 C．144 D．288 解析：因为a8＋a10＝2a1＋16d＝28，a1＝2，所以d＝，所以S9＝9×2＋×＝72． 答案：B 2．(易错题)一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是(　　) A．d＞ B．d＜ C．＜d＜ D．＜d≤ 解析：由题意可得即 解得＜d≤． 答案：D 3．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8＝________． 解析：由已知可得 解得所以S8＝8a1＋d＝32． 答案：32 知识点二　等差数列的性质 数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则 (1)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq， 特别：若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap． (2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd． (3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． 1．(2023·吉林月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a13＋a14＋a15＋a16＝(　　) A．12　　　 B．8　　　 C．20　　　 D．16 解析：∵S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，S4＝8，S8－S4＝12，∴S12－S8＝16，∴S16－S12＝20，即a13＋a14＋a15＋a16＝20． 答案：C 2．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝(　　) A．180 B．90 C．270 D．360 解析：由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，所以a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝180． 答案：A 3．(易错题)已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d＜0，则使数列{an}的前n项和Sn取最大值的正整数n的值是________． 解析：由|a3|＝|a9|，d＜0，得a3＝－a9， 即a3＋a9＝0，所以a6＝＝0． 所以a5＞0，a6＝0，a7＜0． 所以当n＝5或6时，Sn取最大值． 答案：5或6 授课提示：对应学生用书第108页 题型一　等差数列的基本问题 1．(多选)(2023·济宁模拟)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且∀n＞1，其前n项和Sn满足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，则(　　) A．a7＝13　　　　　　　　 B．a8＝14 C．S7＝43 D．S8＝64 解析：由Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，得an＋1－an＝2(n≥2)，又因为a2－a1＝1，所以数列{an}从第二项起为等差数列，且公差d＝2，故a7＝a2＋5d＝2＋5×2＝12，a8＝a2＋6d＝2＋6×2＝14，所以A错误，B正确；又S7＝a1＋＝1＋＝43，S8＝a1＋＝1＋＝57，所以C正确，D错误． 答案：BC 2．(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________． 解析：∵2S3＝3S2＋6，∴2(3a1＋3d)＝3(2a1＋d)＋6，即6d