第4章 第3节 向量的数量积-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（苏教版 新教材 新高考）

第三节　向量的数量积 热点命题分析 学科核心素养 本节在高考中主要考查向量的数量积运算，利用向量数量积解决模长、夹角问题，平行或垂直问题，有时也会与三角函数、平面解析几何进行交汇命题，主要以小题的形式出现，难度不大． 本节主要通过平面向量的数量积及其应用考查考生的数学运算、直观想象核心素养． 授课提示：对应学生用书第97页 知识点一　向量的夹角 定义 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是a与b的夹角 图示 范围 设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180° 共线与垂直 θ＝0°或θ＝180°⇔a∥b，θ＝90°⇔a⊥b 对于两个非零向量a与b，由于当θ＝0°时，a·b>0，所以a·b>0是两个向量a，b夹角为锐角的必要不充分条件；a·b＝0也不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b．　 1．若向量a，b满足|a|＝，b＝(－2，1)，a·b＝5，则a与b的夹角为(　　) A．90°　　　　　　　　 B．60° C．45° D．30° 解析：∵b＝(－2，1)，∴|b|＝＝，∵|a|＝，a·b＝5，∴cos 〈a，b〉＝＝＝．又〈a，b〉∈[0，π]．∴a与b的夹角为45°． 答案：C 2．(易错题)已知两个非零向量a与b的夹角为θ，则“a·b>0”是“θ为锐角”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由a·b>0，可得到θ∈，不能得到θ∈；而由θ∈，可以得到a·b>0． 答案：B 知识点二　平面向量的数量积 1．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数|a||b|cos__θ叫作a与b的数量积，记作a·b 几何意义 向量a和b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积 2．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c． 3．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ． 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 1．数量积运算律要准确理解、应用，例如a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量． 2．在用|a|＝求向量的模时，一定要先求出a2再进行开方．　 1．已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|为(　　) A．12 B．6 C．3 D．3 解析：a·b＝|a||b|cos 135°＝－12，所以|b|＝＝6． 答案：B 2．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________． 解析：因为2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12． 答案：12 3．设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于________． 解析：a＋2b＝(－1＋2m，4)，2a－b＝(－2－m，3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－，所以a·b＝－1×＋2×1＝． 答案： 授课提示：对应学生用书第98页 题型一　平面向量数量积的计算 1．(多选)已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|＝1．若a·b＝，则(a－b)·(2b－c)的值可能为(　　) A．－2　　　　　　　　　 B．3－ C．0 D．－ 解析：由|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝知cos 〈a，b〉＝，即〈a，b〉＝，所以|b－a|＝＝1，则(a－b)·(2b－c)＝2a·b－a·c－2b2＋b·c＝1－2＋c·(b－a)＝－1＋cos α，其中α为向量c与b－a的夹角，且α∈[0，π]．因为cos α∈[－1，1]，所以cos α－1∈[－2，0]．由选项知ACD正确． 答案：ACD 2．已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，且∠BAD＝90°，AB＝2，AD＝1．若点Q满足＝2，则·＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则Q，D(0，1)，C(1，1)，所以＝，＝，所以·＝＋1＝． 答案：D 3．(2020·新高考Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形AB