第4章 第2节 平面向量基本定理及坐标表示-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（苏教版 新教材 新高考）

第二节　平面向量基本定理及坐标表示 热点命题分析 学科核心素养 从近五年的高考情况来看，本节重点是平面向量基本定理的应用与坐标计算，多以选择题、填空题形式考查，难度较低． 本节主要考查学生的直观想象与数学运算核心素养． 授课提示：对应学生用书第94页 知识点一　平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． 其中，不共线的向量e1，e2叫作这个平面的一组基底． 1．基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底． 2．基底给定，同一向量的分解形式唯一．　 1．(易错题)e1，e2为不共线的两个向量，下列命题正确的个数为(　　) ①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0． A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 解析：对于①、②，由平面向量基本定理可知①正确，②错误；对于③，满足条件的λ有无数多个，故③错误；对于④，因为e1与e2不共线，λe1＋μe2＝0，得λ＝μ＝0，故④正确． 答案：B 2．如图所示，在正方形ABCD中，E为DC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为________． 解析：因为E为DC的中点，所以＝＋＝＋＋＝＋＋＝＋，即＝－＋，所以λ＝－，μ＝1，所以λ＋μ＝． 答案： 知识点二　向量的坐标运算 1．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)， a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝ ． (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)， ||＝ ． 2．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0． 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0．　 1．(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)．若a∥b，则λ＝________． 解析：法一：因为a∥b，所以a＝kb，即(2，5)＝k(λ，4)，得解得 法二：因为a∥b，所以2×4－5λ＝0，解得λ＝． 答案： 2．(易错题)已知O为坐标原点，向量＝(2，3)，＝(4，－1)，且＝3，则||＝________． 解析：设P(x，y)，由题意可得A，B两点的坐标分别为(2，3)，(4，－1)， 由＝3， 可得 解得故||＝． 答案： 授课提示：对应学生用书第95页 题型一　平面向量基本定理及应用 1．(多选)在边长为2的正方形ABCD中，E为BC边的中点，DF⊥AE于点F，则(　　) A．AF＝ B．∠BAE＝∠ADF＝30° C．＝－ D．＝＋ 解析：延长DF交AB于点G，在正方形ABCD中，E为边BC的中点，DF⊥AE于点F，易知G为AB的中点，∠BAE＝∠ADF≠30°．易知△ADF∽△GDA，所以＝，即AF·＝1×2，所以AF＝＝，所以＝，所以＝＝(＋)＝＝＋，所以＝＋＝＋，＝－＝－－＝－． 答案：AD 2．在△ABC中，O为△ABC的重心．若＝λ＋μ，则λ－2μ＝(　　) A．－　　 B．－1　　 C．　　 D．－ 解析：设AC的中点为D，因为O为△ABC的重心，所以＝＝(＋)＝－＋×＝－＋，所以λ＝－，μ＝，所以λ－2μ＝－． 答案：D 3．(2023·太原模拟)在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点．若＝λ＋μ，则实数λ＋μ＝________． 解析：如图所示，∵M，N分别为BC，DC的中点， ∴＝＋＝＋＝＋，① ＝＋＝＋，② 由①②得＝－， ＝－， ∴＝＋＝＋＝－＋－＝＋， ∵＝λ＋μ，，不共线， ∴λ＝，μ＝，λ＋μ＝． 答案： 4．(2023·西安调研)如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E．若＝m＋，则实数m的值为________． 解析：由N是OD的中点得＝＋＝＋(＋)＝＋，又因为A，N，E三点共线，故＝λ， 即m＋＝λ(＋)， 又与不共线， 所以解得 故实数m＝． 答案： 　应用平面向量基本定理应注意的问题 (1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一