第4章 第1节 平面向量的概念及线性运算-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（苏教版 新教材 新高考）

第一节　平面向量的概念及线性运算 热点命题分析 学科核心素养 本节在高考中的命题重点有平面向量的线性运算、共线向量定理，主要以选择题和填空题的形式呈现，难度不大． 本节通过平面向量的线性运算，考查考生的直观想象、数学运算核心素养和方程思想、数形结合思想的运用． 授课提示：对应学生用书第90页 知识点一　向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小称为向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量 记作0，其方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 非零向量a的单位向量为± 平行向量 方向相同或相反的非零向量(又叫作共线向量) 0与任一向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 1．对于平行向量易忽视两点： (1)零向量与任一向量平行． (2)表示两平行向量的有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一情况． 2．单位向量的定义中只规定了长度，没有方向限制．　 1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等．则所有真命题的序号是(　　) A．①　　　 B．③　　　 C．①③　　　 D．①② 解析：根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量与互为相反向量，故③错误． 答案：A 2．(易错题)设a0为单位向量．①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0．上述命题中，假命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3． 答案：D 知识点二　向量的运算 向量 运算 定义 法则 (或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a； (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求两个向量差的运算 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 实数λ与向量a相乘的运算 |λa|＝|λ||a|； 当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb 1．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，则＝________，＝________(用a，b表示)． 解析：如图所示，＝＝－＝b－a， ＝－＝－－＝－a－b． 答案：b－a　－a－b 2．在平行四边形ABCD中．若|＋|＝|－|，则四边形ABCD的形状为________． 解析：如图所示，因为＋＝，－＝，所以||＝||． 由对角线相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形． 答案：矩形 知识点三　共线向量定理 设a是非零向量，如果有一个实数λ，使b＝λa，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa． 　 三个常用结论 (1)P为线段AB的中点⇔＝(＋)． (2)G为△ABC的重心⇔若A，B，C是平面内不共线的点，则＋＋＝0． (3)＝λ＋μ(λ，μ为实数)．若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1．　 1．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k(　　) A．共线 B．不共线 C．共线且同向 D．不一定共线 解析：若n≠0，则m与k共线；若n＝0，则m与k不一定共线． 答案：D 2．(易错题)已知向量a，b．若|a|＝2，|b|＝4，则|a－b|的取值范围为________． 解析：当a与b方向相同时，|a－b|＝2，当a与b方向相反时，|a－b|＝6，当a与b不共线时，2<|a－b|<6，所以|a－b|的取值范围为[2，6]．此题易忽视a与b方向相同和a与b方向相反两种情况． 答案：[2，6] 授课提示：对应学生用书第91页 题型一　平面向量的有关概念及线性运算 角度(一)　平面向量的有关概念 1．(2023·南宁质检)已知a，b是两个单位向量，下列命题中错误的是(　　) A．|a|＝|b|＝1　　　　　　 B．a·b＝1 C．当a，b反向时，a＋b＝0 D．当a，b同向时，a＝b 解析：a，b是两个单位向量，即模为1的向量，对于A，|a|＝|b|＝1，正