第3章 第7节 解三角形应用举例-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（苏教版 新教材 新高考）

第七节　解三角形应用举例 热点命题分析 学科核心素养 本节内容在高考中直接命题较少，主要涉及高度、距离、角度等实际应用问题． 本节主要考查考生的数学建模、数学运算核心素养． 授课提示：对应学生用书第86页 知识点　测量中的有关术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫作仰角，目标视线在水平视线下方的叫作俯角 方位角 从指北方向线顺时针转到目标方向线的角．方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 易混淆方位角与方向角的概念 1．方位角是指北方向线按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角． 2．“方位角”与“方向角”的范围：方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围是．　 1．(易错题)若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的(　　) A．北偏东15°　　　　　 B．北偏西15° C．北偏东10° D．北偏西10° 解析：如图所示，∠ACB＝90°， 又AC＝BC，∴∠CBA＝45°， 而β＝30°， ∴α＝90°－45°－30°＝15°． ∴点A在点B的北偏西15°． 答案：B 2．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，则可以计算出A，B两点的距离为________ m． 解析：由正弦定理得＝，又因为∠B＝30°， 所以AB＝＝＝50(m)． 答案：50 3．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝________米． 解析：由题图可得∠PAQ＝α＝30°， ∠BAQ＝β＝15°，在△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°， 又∠PBC＝γ＝60°， 所以∠BPA＝(90°－α)－(90°－γ)＝γ－α＝30°， 所以＝，所以PB＝a， 所以PQ＝PC＋CQ＝PB·sin γ＋a sin β ＝a×sin 60°＋a sin 15°＝a． 答案：a 授课提示：对应学生用书第87页 题型一　距离问题 　(2023·宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80米，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________． [解析]　由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，由正弦定理得AC＝＝＝40(＋)米． 在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°， 由正弦定理＝， 得BC＝＝＝160sin 15°＝40(－)米． 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1 600×(8＋4)＋1 600×(8－4)＋2×1 600×(＋)×(－)×＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20＝ 32 000， 解得AB＝80米． 故图中海洋蓝洞的口径为80 米． [答案]　80 米 　求距离问题的两个注意事项 (1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 如图是改革开放四十周年大型展览的展馆——国家博物馆．现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P离地面的高度OP．在地面上的两点A，B测得点P的仰角分别为30°，45°，且∠ABO＝60°，AB＝80米，则OP为(　　) A．10米　 B．20米 C．30米　 D．40米 解析：设OP＝h，由题意，知∠OAP＝30°，∠OBP＝45°．在Rt△AOP中，OA＝h，在Rt△BOP中，OB＝h．在△ABO中，由余弦定理，得AO2＝BA2＋OB2－2BA·OB cos 60°，得h＝40．所以OP为40米． 答案：D 题型二　高度问题 　如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________ m． [解析]　由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°． 又AB＝60