第3章 第6节 正弦定理和余弦定理-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（苏教版 新教材 新高考）

第六节　正弦定理和余弦定理 热点命题分析 学科核心素养 该节是高考的重点和热点，主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，有时也与三角恒等变换等进行综合命题，既有选择题、填空题，也有解答题． 本节通过正、余弦定理及其应用考查考生的数学运算、数学建模核心素养． 授课提示：对应学生用书第82页 知识点一　正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ＝＝ a2＝b2＋c2－2bc__cos__A； b2＝c2＋a2－2ca__cos__B； c2＝a2＋b2－2ab__cos__C 常见变形 (1)a＝2R sin A， b＝2R__sin__B， c＝2R__sin__C； (2)sin A＝， sin B＝， sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C； (4)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝； cos B＝； cos C＝ 1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断． 2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． 3．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制． 1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D． 解析：∵cos ∠BAC＝＝＝－， 又∵0<∠BAC<π，∴∠BAC＝． 答案：C 2．(易错题)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，c＝，C＝，则A＝(　　) A．　　　　　　　　 B． C．或 D．或 解析：由正弦定理＝，得sin A＝＝． ∵a<c，∴A<C，∴0<A<，∴A＝． 答案：A 知识点二　三角形的面积 　S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r． 1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C＝(　　) A．　　　　　　 B． C． D． 解析：由题可知S△ABC＝ab sin C＝，所以a2＋b2－c2＝2ab sin C，由余弦定理a2＋b2－c2＝2ab cos C，所以sin C＝cos C．因为C∈(0，π)，所以C＝． 答案：C 2．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________． 解析：因为＝，所以sin B＝1，所以B＝90°，所以AB＝2， 所以S△ABC＝×2×2＝2． 答案：2 授课提示：对应学生用书第83页 题型一　利用正、余弦定理解三角形 1．(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　) A．1　　　　　　　　 B． C． D．3 解析：法一：设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，在△ABC中，由题意知b＝，c＝2，由余弦定理得b2＝c2＋a2－2ca cos B，即19＝4＋a2－2·2a·cos 120°，整理得a2＋2a－15＝0，解得a＝3或a＝－5(舍)，所以BC＝3． 法二：在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin C＝＝ ，又0°<C<60°，所以cos C＝ ＝，所以sinA＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝×＋× ＝，所以BC＝＝＝3． 答案：D 2．(多选)(2023·临沂模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b＝2，c＝3，A＋3C＝π，则下列结论正确的是(　　) A．cos C＝ B．sin B＝ C．a＝3 D．S△ABC＝ 解析：A＋3C＝π，故B＝2C．根据正弦定理＝，得2sin C＝3×2sin C cos C，又sin C＞0，故cos C＝，sin C＝，故A正确；sin B＝sin 2C＝2sin C cos C＝，故B错误；由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C，将b＝2，c＝3代入得a2－4a＋3＝0，解得a＝3或a＝1．若a＝3，则A＝C＝，且B＝，与sin B＝矛盾，故a＝1，故C错误；S△ABC＝ab sin C＝×1×2×＝，故D正确． 答案：AD 3．(2020·新高考Ⅰ卷)在①ac＝，②c sin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin