第3章 第4节 三角函数的图象与性质-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（苏教版 新教材 新高考）

第四节　三角函数的图象与性质 热点命题分析 学科核心素养 本节是高考考查的重点，主要考查：(1)三角函数的图象变换；(2)三角函数的性质及应用；(3)三角函数图象与性质的综合应用，有时也与三角恒等变换综合考查，多以选择题和填空题的形式呈现，难度中等偏下． 本节通过三角函数的图象及性质考查考生的直观想象和数学运算核心素养，及化归思想和整体代换思想的应用． 授课提示：对应学生用书第73页 知识点　三角函数的图象与性质 正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R ≠kπ＋ 值域 [－1，1] [－1，1] R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单 调 性 在(k∈Z)上是递增函数，在(k∈Z)上是递减函数 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数 在(k∈Z)上是递增函数 周期性 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π 对称性 对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z) 对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是(k∈Z) 对称中心是(k∈Z) 1．正切函数的图象是由直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是(k∈Z)，不能说它在整个定义域内是增函数，如＜，但是tan ＞tan ，正切函数不存在减区间． 2．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结． 3．研究三角函数的单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k∈Z”这一条件．　 1．(2023·沈阳模拟)若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则(　　) A．T＝π，A＝1　　　　 B．T＝2π，A＝1 C．T＝π，A＝2 D．T＝2π，A＝2 解析：最小正周期T＝＝π，最大值A＝1． 答案：A 2．(2021·全国乙卷)函数f(x)＝sin ＋cos 的最小正周期和最大值分别是(　　) A．3π和 B．3π和2 C．6π和 D．6π和2 解析：由题意知： f(x)＝sin ＋cos ＝＝sin ，最小正周期T＝＝6π；当sin ＝1，即x＝π＋6kπ，k∈Z时，f(x)取最大值． 答案：C 3．函数f(x)＝3sin 在区间上的值域为________． 解析：当x∈时，2x－∈， 所以sin ∈， 故3sin ∈， 所以函数f(x)在区间上的值域是． 答案： 4．函数y＝tan 图象的对称中心是________． 解析：由x＋＝π，k∈Z，得x＝π－，k∈Z． 答案：(k∈Z) 5．(2023·青岛模拟)函数f(x)＝sin (－2x)的单调增区间是________． 解析：由f(x)＝sin (－2x)＝－sin 2x，令2kπ＋≤2x≤2kπ＋(k∈Z)得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)． 答案：(k∈Z) 授课提示：对应学生用书第74页 题型一　三角函数的定义域与值域 1．函数y＝lg sin x＋ 的定义域为________． 解析：要使函数有意义，则有 即解得(k∈Z)， 所以2kπ＜x≤＋2kπ，k∈Z． 所以函数y的定义域为． 答案： 2．函数y＝cos ，x∈的值域是________． 解析：∵0＜x≤，∴＜x＋≤π， 又y＝cos x在[0，π]上是减函数， ∴cos π≤cos ＜cos ，即－≤y＜． 答案： 3．函数y＝cos2x－2sinx在上的最大值为________． 解析：设sin x＝t，则t∈． ∴y＝1－sin2x－2sinx＝－(t＋1)2＋2，t∈， 故当t＝－，即x＝－时，ymax＝－＋2＝． 答案： 　1．三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 2．三角函数值域的不同求法 (1)利用sin x和cos x的范围直接求． (2)把所给的三角函数式变换成y＝A sin (ωx＋φ)的形式求值域． (3)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域． (4)利用sin x±cos x和sin x cos x的关系转换成二次函数求值域． 题型二　三角函数的性质 　　三角函数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，而三角函数的对称性多与奇偶性、周期性结合．常见的命题角度有：(1)三角函数的周期性；(2)三角函数的奇偶性；(3)三角函数的对称性；(4)三角函数的单调性． 角度(一)　三角函数的周期性 　(1)函数y＝2sin2x＋sin2x的最小正周期是(　　)