第3章 第3节 第2课时 简单的三角恒等变换-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（苏教版 新教材 新高考）

第二课时　简单的三角恒等变换 授课提示：对应学生用书第69页 题型一　三角函数式的化简 1．(2023·东莞模拟)cos2＋sin2等于(　　) A．1　　　　　　　　　　　 B．1－cos2x C．1＋cos 2x D．1＋sin 2x 解析：由cos2＋sin2＝＋ ＝(1＋sin 2x＋1＋sin 2x)＝1＋sin 2x． 答案：D 2．化简：＝(　　) A．1 B． C． D．2 解析：原式＝＝＝＝． 答案：C 3．＝________． 解析：由题意 ＝ ＝ ＝＝＝2． 答案：2 4．若180°＜α＜270°，则 ＝________________． 解析：原式＝ ＝ ， 因为180°＜α＜270°，所以cosα＜0， 从而上式＝ ， ＝ ＝ ， 因为90°＜＜135°，所以sin ＞0， 从而上式＝sin ． 答案：sin 　1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则 2．三角函数式化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次． 题型二　三角函数式求值 角度(一)　给角求值 　(1)(多选)下列各式中，值为的是(　　) A．cos2－sin2 B． C．2sin195°cos 195° D． (2)计算＝________． [解析]　(1)cos2－sin2＝cos＝cos ＝，故A错误；＝·＝tan45°＝，故B正确；2sin 195°cos 195°＝2sin (180°＋15°)cos (180°＋15°)＝2sin 15°·cos 15°＝sin 30°＝，故C正确； ＝ ＝，故D错误． (2)原式＝ ＝ ＝ ＝＝－4． [答案]　(1)BC　(2)－4 　三角函数给角求值问题的解题策略 一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角之间的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题．另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值． 角度(二)　给值求值 　(2022·浙江卷)若3sin α－sin β＝，α＋β＝，则sin α＝________，cos 2β＝________． [解析]　因为α＋β＝，所以β＝－α， 所以3sin α－sin β＝3sin α－sin ＝3sin α－cos α＝sin (α－φ)＝，其中sin φ＝，cos φ＝．所以α－φ＝＋2kπ，k∈Z，所以α＝＋φ＋2kπ，k∈Z，所以sin α＝sin ＝cos φ＝，k∈Z．因为sin β＝3sin α－＝－，所以cos 2β＝1－2sin2β＝1－＝． [答案]　　 　给值求值是指已知某个角的三角函数值，求与该角相关的其他三角函数值的问题，解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来． 角度(三)　给值求角 　若sin2α＝，sin (β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是________． [解析]　因为α∈，所以2α∈， 又sin 2α＝，所以2α∈， 所以cos 2α＝－且α∈， 又因为sin (β－α)＝，β∈， 所以β－α∈，所以cos (β－α)＝－， 所以cos (α＋β)＝cos [(β－α)＋2α] ＝cos (β－α)cos 2α－sin (β－α)sin 2α ＝×－×＝， 又α＋β∈，所以α＋β＝． [答案]　π 　通过某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则： (1)已知正切函数值，则选正切函数． (2)已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数，若角的范围是，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为，则选正弦较好． [提醒]　对角的范围的限定是求角问题中的难点，一般来说对角的范围的限定可从以下两方面进行： (1)题目给定的角的范围； (2)利用给定的各个三角函数值来限定，如由三角函数值的正负可挖掘出角的范围，也可借助特殊角的三角函数值和函数的单调性来确定角的范围，注意应尽量使角的范围精准，避免增根． 1．(2020·全国Ⅲ卷)已知2tan θ－tan ＝7，则tan θ＝(　　) A．－2　　　　　　　　 B．－1 C．1 D．2 解析：2tan θ－tan ＝2tan θ－＝7，解得tan θ＝2． 答案：D 2．已知2tan αsin α＝3，－＜α＜0，则cos 的值是(　　) A．0 B． C．1 D． 解析：由2tan αsin α＝3，得＝3，即2cos2α＋3cosα－2＝0，∴cos α＝或cos α＝－2(舍去)．∵－＜α＜0，∴sin α＝－，∴cos ＝cos αcos ＋sin αsin ＝0． 答案：A 3．