第3章 第3节 第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（苏教版 新教材 新高考）

第三节　三角恒等变换 热点命题分析 学科核心素养 本节重点考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式的综合应用，主要体现在： (1)三角函数的化简； (2)三角函数的求值； (3)通过恒等变换研究函数的性质等，既有选择题又有填空题，难度中等．掌握三角函数的和差公式、二倍角公式的正用、逆用是解决问题的关键． 本节通过三角恒等变换考查考生的数学运算核心素养． 授课提示：对应学生用书第66页 知识点　三角恒等变换公式 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)cos (α－β)＝cos__αcos__β＋sin__αsin__β； (2)cos (α＋β)＝cos__αcos__β－sin__αsin__β； (3)sin (α＋β)＝sin__αcos__β＋cos__αsin__β； (4)sin (α－β)＝sin__αcos__β－cos__αsin__β； (5)tan (α＋β)＝； (6)tan (α－β)＝． 2．二倍角公式 (1)sin 2α＝2sin__αcos__α； (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan2α＝． 3．积化和差与和差化积公式： (1)积化和差公式： sinαcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)]； cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)]； cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)]； sin αsin β＝[cos (α＋β)－cos (α－β)]． (2)和差化积公式： sin α＋sin β＝2sin cos ； sin α－sin β＝2cos sin ； cos α＋cos β＝2cos cos ； cos α－cos β＝－2sin sin ． 1．四个必备结论 (1)降幂公式： cos2α＝，sin2α＝． (2)升幂公式： 1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α． (3)公式变形： tanα±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β)． (4)辅助角公式： a sin x＋b cos x＝sin (x＋φ)． 2．半角公式 (1)sin ＝± ． (2)cos ＝± ． (3)tan ＝± ＝＝． 以上称之为半角公式，符号由所在象限决定．　 1．若sin α＝，则cos 2α＝(　　) A．　　　　　　 B． C．－ D．－ 解析：cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝． 答案：B 2．sin347°cos 148°＋sin 77°·cos 58°＝________． 解析：sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58° ＝sin (270°＋77°)cos (90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77° ＝sin (58°＋77°)＝sin 135°＝． 答案： 3．化简：＝________． 解析：原式＝ ＝＝＝． 答案： 4．(2023·杭州模拟)若tan α＝3，tan (α－β)＝2，则tan β＝________． 解析：tan β＝tan [α－(α－β)] ＝ ＝＝． 答案： 第一课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 授课提示：对应学生用书第67页 题型一　三角函数公式的基本应用 1．(2021·全国乙卷)cos2－cos2＝(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D． 解析：法一：cos2－cos2＝cos2－cos2＝cos2－sin2＝cos＝． 法二：cos2－cos2 ＝cos2－cos2 ＝ － ＝－ ＝－ ＝×＝． 答案：D 2．已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：因为sin α＝＋cos α，即sin α－cos α＝，所以＝＝＝＝－． 答案：A 3．(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝(　　) A． B． C． D． 解析：由3cos 2α－8cos α＝5，得3(2cos2α－1)－8cosα＝5， 即3cos2α－4cosα－4＝0， 解得cos α＝－或cos α＝2(舍去)． 又因为α∈(0，π)，所以sin α＞0， 所以sin α＝＝＝． 答案：A 4．计算的值为________． 解析： ＝＝＝＝． 答案： 　三角函数公式的应用策略 (1)使用两角和与差的三角函数公式时，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关