第2章 第10节 第2课时 利用导数研究函数的极值与最值-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（苏教版 新教材 新高考）

第二课时　利用导数研究函数的极值与最值 授课提示：对应学生用书第54页 题型一　导数与函数的极值 　　函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，为中、高档题．常见的命题角度有：(1)知图判断函数极值；(2)已知函数求极值；(3)已知函数极值情况求参数值(范围)． 角度(一)　知图判断函数极值 　函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　) A．无极大值点、有四个极小值点 B．有三个极大值点、一个极小值点 C．有两个极大值点、两个极小值点 D．有四个极大值点、无极小值点 [解析]　导函数的图象与x轴的四个交点都是极值点，第一个与第三个是极大值点，第二个与第四个是极小值点． [答案]　C 　知图判断函数的极值的情况：先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号，最后判断是极大值点还是极小值点． 角度(二)　求函数的极值 　(2023·兰州模拟)已知函数f(x)＝x3－(a2＋a＋2)x2＋a2(a＋2)x，a∈R． (1)当a＝－1时，求函数y＝f(x)的单调区间； (2)求函数y＝f(x)的极值点． [解]　(1)当a＝－1时，f(x)＝x3－x2＋x，f′(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以函数f(x)是R上的增函数，单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间． (2)因为f′(x)＝x2－(a2＋a＋2)x＋a2(a＋2)＝(x－a2)[x－(a＋2)]， ①当a＝－1或a＝2时，a2＝a＋2，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)为增函数，无极值点． ②当a＜－1或a＞2时，a2＞a＋2，可得当x∈(－∞，a＋2)时，f′(x)＞0，函数f(x)为增函数；当x∈(a＋2，a2)时，f′(x)＜0，函数f(x)为减函数；当x∈(a2，＋∞)时，f′(x)＞0，函数f(x)为增函数．所以当x＝a＋2时，函数f(x)有极大值f(a＋2)；当x＝a2时，函数f(x)有极小值f(a2)． ③当－1＜a＜2时，a2＜a＋2，可得当x∈(－∞，a2)时，f′(x)＞0，函数f(x)为增函数；当x∈(a2，a＋2)时，f′(x)＜0，函数f(x)为减函数；当x∈(a＋2，＋∞)时，f′(x)＞0，函数f(x)为增函数．所以当x＝a＋2时，函数f(x)有极小值f(a＋2)；当x＝a2时，函数f(x)有极大值f(a2)． 综上，当a＝－1或a＝2时，f(x)无极值点； 当a<－1或a>2时，f(x)的极大值点为a＋2，极小值点为a2； 当－1<a<2时，f(x)的极小值点为a＋2，极大值点为a2． 　利用导数研究函数极值问题的一般流程 角度(三)　已知函数的极值求参数 　(2022·全国乙卷)已知x＝x1和x＝x2分别是函数f(x)＝2ax－ex2(a＞0且a≠1)的极小值点和极大值点．若x1＜x2，则a的取值范围是________． [解析]　∵f(x)＝2ax－ex2， ∴f′(x)＝2ax ln a－2ex． 根据题意，得x1，x2是f′(x)＝0的两个不相等的实根． 由f′(x)＝0得ax ln a＝ex． 由题意得函数y＝ax ln a与y＝ex的图象有两个不同的交点． 当a＞1时，画出函数y＝ax ln a与y＝ex的图象，如图①所示， 当x∈(－∞，x1)时，f′(x)＝2ax ln a－2ex＞0， f(x)在(－∞，x1)上单调递增； 当x∈(x1，x2)时，f′(x)＝2ax ln a－2ex＜0， f(x)在(x1，x2)上单调递减； 当x∈(x2，＋∞)时，f′(x)＝2ax ln a－2ex＞0， f(x)在(x2，＋∞)上单调递增． ∴x＝x1和x＝x2分别是f(x)的极大值点和极小值点，这与已知矛盾． ∴当a＞1时，不满足题意，舍去； 当0＜a＜1时，画出函数y＝ax ln a与y＝ex的图象，如图②所示， ∴k＝e(ln a)2，要使函数y＝ax ln a与y＝ex的图象有两个不同的交点，则k＜e，即e(ln a)2＜e． ∴(ln a)2＜1，即－1＜ln a＜1，∴＜a＜e． 又0＜a＜1，∴＜a＜1． 综上所述，a的取值范围是． [答案]　 　已知函数极值点或极值求参数的两个关键点 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性． 1．(多选)(2023·临沂模拟)已知函数f(x)＝x＋sin x－x cos x的定义域为[－2π，2π)，则(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)在[0，π)上单调递增 C．f(x)恰有4个极大值点 D．f(x)有且仅有4个极值点 解