第2章 第10节 第1课时 利用导数研究函数的单调性-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（苏教版 新教材 新高考）

第十节　导数的应用 热点命题分析 学科核心素养 本节一直是高考的重点和难点．一般以基本初等函数为载体，利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点问题，同时与解不等式关系最为密切，还可能与三角函数、数列等知识综合考查，一般出现在选择题和填空题的后两题以及解答题中，难度较大，复习备考地过程中应引起重视． 本节通过导数研究函数的单调性、极值、最值问题，考查考生的分类讨论思想、等价转化思想以及数学运算、逻辑推理核心素养． 授课提示：对应学生用书第49页 知识点一　利用导数研究函数的单调性 1．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负关系 (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间上是增函数； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间上是减函数； (3)若f__′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数． f′(x)＞0与f(x)为增函数的关系 f′(x)＞0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上是增函数，但f′(x)≥0，所以f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件． 　2．利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f__′(x)； (2)在定义域内解不等式f__′(x)>0或f__′(x)<0； (3)根据结果确定f(x)的单调区间． 若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f　′(x)≥0，且在(a，b)的任意子区间上，等号不恒成立；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f　′(x)≤0，且在(a，b)的任意子区间上，等号不恒成立． 1．函数y＝4x2＋的单调递增区间为(　　) A．(0，＋∞)　　　　　　　　 B． C．(－∞，－1) D． 解析：由y＝4x2＋，得y′＝8x－， 令y′＞0，即8x－＞0，解得x＞， 所以函数y＝4x2＋的单调递增区间为． 答案：B 2．(易错题)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．(－∞，－1] C．[2，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：因为f(x)＝kx－ln x，所以f′(x)＝k－． 因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增， 所以当x>1时，f′(x)＝k－≥0恒成立， 即k≥在区间(1，＋∞)上恒成立． 因为x>1，所以0<<1，所以k≥1． 答案：D 知识点二　利用导数研究函数的极值与最值 1．函数的极小值 一般地，若存在δ＞0，当x∈(x1－δ，x1＋δ)时，都有f(x)≥f(x1)，则称f(x1)为函数f(x)的一个极小值． 2．函数的极大值 一般地，若存在δ＞0，当x∈(x1－δ，x1＋δ)时，都有f(x)≤f(x1)，则f(x1)为函数f(x)的一个极大值． 3．求f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤 第一步：求f(x)在区间(a，b)上的极值； 第二步：将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值． 1．极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)． 2．极大值与极小值没有必然关系，极小值可能比极大值还大．　 3．极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数． 4．f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要而不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点． 1．设函数f(x)＝＋ln x，则(　　) A．x＝为f(x)的极大值点 B．x＝为f(x)的极小值点 C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点 解析：f′(x)＝－＋＝(x＞0)，当0＜x＜2时，f′(x)＜0，当x＞2时，f′(x)＞0，所以x＝2为f(x)的极小值点． 答案：D 2．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是(　　) A．在区间(－2，1)上f(x)是增函数 B．在区间(1，3)上f(x)是减函数 C．在区间(4，5)上f(x)是增函数 D．当x＝2时， f(x)取到极小值 答案：C 3．函数y＝x＋2cos x在区间上的最大值是______． 解析：因为y′＝1－2sin x， 所以当x∈时，y′＞0； 当x∈时，y′＜0． 所以当x＝时，ymax＝＋． 答案：＋ 4．(易错题)设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________． 解析：方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解， 因为当x＞0时，－ex＜－1，所以a＝－ex＜－1． 答案：(－∞，－1) 第一课时　利用导数研究函数的单调性 授课提示：对应学生用书第50页 题型一　函数单调性的判断 　已知函数g(x)＝ln x＋ax