第2章 第9节 导数概念及其运算-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（苏教版 新教材 新高考）

第九节　导数概念及其运算 热点命题分析 学科核心素养 本节一直是高考的热点，主要考查导数的运算、求导法则以及导数的几何意义．导数的运算一般不单独考查，而是在考查导数的应用时与单调性、极值与最值综合考查，导数的几何意义最常见的是求切线方程和已知切线方程求参数值，常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题的第一问，难度中等． 本节通过导数的运算及其几何意义考查考生的数学运算、逻辑推理、直观想象核心素养． 授课提示：对应学生用书第45页 知识点　导数的概念及运算 1．导数的概念 设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在点x＝x0处的导数，记作f′(x0)． 2．导数的几何意义 函数f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率． 3．基本初等函数的导数 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos__x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin__x f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ax__ln__a f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝logax (a>0，且a≠1) f′(x)＝ 4．导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)； (2)(f(x)·g(x))′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)． 5．简单复合函数的导数 若y＝f(u)，u＝ax＋b，则yx′＝yu′·ux′，即yx′＝yu′·a． 1．利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(xα)′＝αxα－1与指数函数的求导公式(ax)′＝ax ln a混淆． 2．求曲线切线方程时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者． 3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有区别．　 1．函数y＝x cos x－sin x的导数为(　　) A．x sin x　　　　　　　　 B．－x sin x C．x cos x D．－x cos x 解析：y′＝x′cos x＋x(cos x)′－(sin x)′＝cos x－x sin x－cos x＝－x sin x． 答案：B 2．(2021·全国甲卷)曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为________． 解析：令y＝f(x)＝＝2－， 所以f′(x)＝， 当x＝－1时，f′(－1)＝5，所以k＝5，从而切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即y＝5x＋2． 答案：y＝5x＋2 3．有一机器人的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则该机器人在t＝2时的瞬时速度为________． 解析：因为s＝t2＋，所以s′＝2t－， 所以s′|t＝2＝4－＝． 答案： 4．(易错题)已知直线y＝－x＋1是函数f(x)＝－·ex图象的切线，则实数a＝________． 解析：设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－·＝－1，∴＝a，又－·＝－x0＋1，∴x0＝2，a＝e2． 答案：e2 授课提示：对应学生用书第46页 题型一　导数的运算 1．(2023·宜昌模拟)已知f′(x)是函数f(x)的导数，f(x)＝f′(1)·2x＋x2，则f′(2)＝(　　) A．　　　　　 B． C． D．－2 解析：因为f′(x)＝f′(1)·2x ln 2＋2x，所以f′(1)＝f′(1)·2ln 2＋2，解得f′(1)＝，所以f′(x)＝·2x ln 2＋2x，所以f′(2)＝×22ln 2＋2×2＝． 答案：C 2．(2023·泰安模拟)已知f(x)＝x(2 021＋ln x)，若f′(x0)＝2 022，则x0＝(　　) A．e2 B．1 C．ln 2 D．e 解析：因为f(x)＝x(2 021＋ln x)， 所以f′(x)＝2 021＋ln x＋1＝2 022＋ln x， 又f′(x0)＝2 022， 所以2 022＋ln x0＝2 022，所以x0＝1． 答案：B 3．(2020·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝．若f′(1)＝，则a＝________． 解析：f′(x)＝，可得f′(1)＝＝，即＝，解得a＝1． 答案：1 　 题型二　导数的几何意义 　　导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度