第2章 第8节 函数与方程及应用-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（苏教版 新教材 新高考）

第八节　函数与方程及应用 热点命题分析 学科核心素养 本节是高考的热点，主要考查：(1)利用零点存在性定理判断零点是否存在以及零点所在区间；(2)判断函数零点、方程根的个数；(3)根据零点(方程根)的情况求参数的取值范围；(4)函数模型及应用．一般出现在选择题和填空题的后两题，有时与导数综合作为解答题的一问呈现，难度较大． 本节通过零点问题考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的运用，以及考生的逻辑推理、直观想象和数学运算核心素养． 授课提示：对应学生用书第40页 知识点一　函数的零点 1．函数的零点的概念 一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点． 2．函数的零点与方程的根的关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 3．零点存在性定理 如果函数y＝f(x)满足： (1)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线； (2)f(a)·f(b)＜0． 则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点． 1．函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标． 2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．　 1．函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致范围是(　　) A．(1，2)　　　　　　　　 B．(2，3) C．和(3，4) D．(4，＋∞) 解析：易知f(x)为增函数，由f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0得f(2)·f(3)＜0． 答案：B 2．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是________． 解析：由已知得f′(x)＝ex＋3＞0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0，因此函数f(x)有且只有一个零点． 答案：1 3．若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0，4)上存在零点，则实数m的取值范围是________． 解析：二次函数f(x)图象的对称轴方程为x＝1．若在区间(0，4)上存在零点，只需f(1)≤0且f(4)＞0即可，即－1＋m≤0且8＋m＞0，解得－8＜m≤1． 答案：(－8，1] 4．(易错题)给出下列命题： ①函数f(x)＝x2－1的零点是(－1，0)和(1，0)； ②函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)＜0； ③二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac＜0时没有零点； 其中正确的是________(填序号)． 答案：③ 知识点二　函数模型及应用 1．几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝bloga x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 2．三种增长型函数之间增长速度的比较 (1)指数函数y＝ax(a>1)与幂函数y＝xn(n>0) 在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因而总存在一个x0，当x>x0时，有ax>xn． (2)对数函数y＝loga x(a>1)与幂函数y＝xn(n>0) 对数函数y＝loga x(a>1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会慢于y＝xn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使x>x0时有loga__x<xn． 由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使x>x0时有ax>xn>loga__x． 1．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　) A．f(x)＞g(x)＞h(x)　　 B．g(x)＞f(x)＞h(x) C．g(x)＞h(x)＞f(x) D．f(x)＞h(x)＞g(x) 解析：由图象(图略)知，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)＞f(x)＞h(x)． 答案：B 2．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________． 解析：设隔墙的长度为x(0＜x＜6)，矩形面积为y，则y＝x×＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，所以当x＝3时，y最大． 答案：3 授课提示：对应学生用