第2章 第6节 对数与对数函数-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（苏教版 新教材 新高考）

第六节　对数与对数函数 热点命题分析 学科核心素养 本节是高考的一个热点，主要考查对数式的大小比较、对数函数的图象和性质，也常与其他函数、方程、不等式等综合命题，以选择题和填空题为主，也可能在解答题中出现，难度中等． 本节通过对数运算、对数函数的图象及性质考查分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想的运用以及考生的数学运算核心素养． 授课提示：对应学生用书第32页 知识点一　对数与对数运算 1．对数的概念与性质 对数的定义及常见对数 (1)如果ab＝N(a>0，a≠1)，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数 (2)以10为底的对数称为常用对数，记作lg__N (3)以e为底的对数称为自然对数，记作ln__N 对数的性质 (1)负数和零没有对数 (2)loga 1＝0(a>0，且a≠1) (3)loga a＝1(a>0，且a≠1) (4)aloga N＝N(a>0，且a≠1，N>0) 2．对数的运算法则(a>0，且a≠1，M>0，N>0) (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 3．对数的重要公式 (1)换底公式：logaN＝(其中a＞0，a≠1，N＞0，c＞0，c≠1)； (2)logab＝． 对数运算的一些结论 (1)logambn＝logab．(2)logab·logba＝1．(3)logab·logbc·logcd＝logad．　 1．＋log2＝(　　) A．2　　　　　　　　　 B．2－2log23 C．－2 D．2log23－2 解析：＝＝2－log23，又log2＝－log23，两者相加即为B． 答案：B 2．(log29)·(log34)＝________． 解析：(log29)·(log34)＝×＝×＝4． 答案：4 3．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为________． 解析：由2x＝3，log4＝y，得x＝log23，y＝log4＝log2，所以x＋2y＝log23＋log2＝log28＝3． 答案：3 知识点二　对数函数及其性质 1．概念：函数y＝logax(a>0，a≠1)叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过点(1，0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 对数不等式问题，一般是先确保对数中真数大于0，再利用对数函数的单调性来求解不等式，特别是对数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法求解不等式，故应分a>1和0<a<1两种情况讨论．　 1．函数y＝log(－x2＋x＋6)的单调增区间为(　　) A． B． C．(－2，3) D． 解析：由－x2＋x＋6＞0，解得－2＜x＜3，故函数的定义域为(－2，3)，令t＝－x2＋x＋6，则y＝logt，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t＝－x2＋x＋6在(－2，3)上的减区间． 利用二次函数的性质可得t＝－x2＋x＋6在定义域(－2，3)上的减区间为． 答案：A 2．函数y＝loga(4－x)＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点________． 解析：当4－x＝1即x＝3时，y＝loga1＋1＝1． 所以函数的图象恒过点(3，1)． 答案：(3，1) 3．(易错题)函数y＝logax(a＞0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________． 答案：2或 授课提示：对应学生用书第33页 题型一　对数函数的图象及应用 1．函数f(x)＝的大致图象为(　　) 解析：f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，且f(－x)＝＝f(x)＝，故函数为偶函数，排除A、B；当0<x<1，f(x)<0，故C错误． 答案：D 2．(多选)(2023·济南模拟)已知实数x，y，z满足ln x＝ey＝，则下列关系式中可能成立的是(　　) A．x＞y＞z　　　　　　 B．x＞z＞y C．z＞x＞y D．z＞y＞x 解析：设ln x＝ey＝＝k，k＞0，则x＝ek，y＝ln k，z＝，分别画出函数y＝ex，y＝ln x，y＝在(0，＋∞)上的大致图象，如图所示．当k＝x1时，z＞x＞y；当k＝x2时，x＞z＞y；当k＝x3时，x＞y＞z． 答案：ABC 3．已知函数f(x)＝4＋loga(x－1)的图象恒过定点