第2章 第5节 指数与指数函数-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（苏教版 新教材 新高考）

第五节　指数与指数函数 热点命题分析 学科核心素养 本节在高考中的考查热点有：(1)比较指数式的大小；(2)指数函数的图象与性质的应用；(3)以指数函数为载体，与其他函数、方程、不等式等知识的综合应用．以选择题和填空题为主，难度中等． 本节通过指数运算、指数函数的图象及性质考查数形结合思想、分类讨论思想的运用和考生的逻辑推理、数学运算核心素养． 授课提示：对应学生用书第28页 知识点一　根式与指数幂的运算 1．根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么称x为a的n次方根 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 0的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数 ± (a>0) 负数没有偶次方根 2．两个重要公式 (1)＝ (2)()n＝a(注意a必须使有意义)． 3．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n均为正整数)； ②负分数指数幂：a－＝＝(a＞0，m，n均为正整数)； ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．易忽视字母的符号．　 1．(易错题)化简的结果为(　　) A．－　　　　　　　 B．－ C．－ D．－6ab 解析：原式＝4÷＝－6ab－1＝－． 答案：C 2．化简 (x＜0，y＜0)＝________． 解析：因为x＜0，y＜0，所以＝(16x8·y4)＝(16)·(x8)·(y4)＝2x2|y|＝－2x2y． 答案：－2x2y 知识点二　指数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图 象 性 质 定义域：R 值域：(0，＋∞) 当x＝0时，y＝1，即过定点(0，1)，图象在x轴的上方 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 在R上是减函数 在R上是增函数 指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a>1或0<a<1．　 1．某种产品的产量原来是a件，在今后m年内，计划使每年的产量比上一年增加p%，则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为(　　) A．y＝a(1＋p%)x(0＜x＜m) B．y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m，x∈N) C．y＝a(1＋xp%)(0＜x＜m) D．y＝a(1＋xp%)(0≤x≤m，x∈N) 解析：由题意可知，y＝a(1＋p%)x，其中0≤x≤m，x∈N． 答案：B 2．函数f(x)＝ax－(a＞0，a≠1)的图象可能是(　　) 解析：当a＞1时，将y＝ax的图象向下平移个单位长度得f(x)＝ax－的图象，A，B都不符合；当0＜a＜1时，将y＝ax的图象向下平移个单位长度得f(x)＝ax－的图象，而大于1． 答案：D 3．(易错题)若函数f(x)＝ax在[－1，1]上的最大值为2，则a＝________． 解析：当a＞1时，a＝2；当0＜a＜1时a－1＝2，即a＝． 答案：2或 授课提示：对应学生用书第29页 题型一　指数函数的图象及应用 1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　) 解析：由f(x)＝1－e|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，排除B，D．又e|x|≥1，所以f(x)的值域为(－∞，0]，排除C． 答案：A 2．(多选)(2023·日照模拟)若实数x，y满足5x－4y＝5y－4x，则下列关系式中可能成立的是(　　) A．x＝y B．1＜x＜y C．0＜x＜y＜1 D．y＜x＜0 解析：由题意，实数x，y满足5x－4y＝5y－4x，可化为4x＋5x＝5y＋4y，设f(x)＝4x＋5x，g(x)＝5x＋4x，由基本初等函数的性质，可得f(x)，g(x)在R上都是单调递增函数，画出函数y＝f(x)，y＝g(x)的大致图象，如图所示． 根据图象可知，当x＝0时，f(0)＝g(0)＝1；当x＝1时，f(1)＝g(1)＝9．故当x＝y＝0或1时，f(x)＝g(y)，所以5x－4y＝5y－4x成立，故A正确；当1＜x＜y时，f(x)＜g(y)，故B不正确；当0＜x＜y＜1时，f(x)＝g(y)可能成立，故C正确；当y＜x＜0时，f(x)＝g(y)可能成立，故D正确． 答案：ACD 　1．对于已知函数解析式识别函数图象的选择题，可以考虑应用特值法． 2．对于与指数函数的图象有关的问题