第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（苏教版 新教材 新高考）

第三节　函数的奇偶性与周期性 热点命题分析 学科核心素养 以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择题、填空题为主，中等偏上难度． 本节通过函数奇偶性、周期性的应用考查数形结合思想、等价转化思想以及学生的逻辑推理和数学运算核心素养． 授课提示：对应学生用书第19页 知识点一　函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 设函数y＝f(x)的定义域为A．如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 设函数y＝f(x)的定义域为A．如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数 关于原点对称 1．判断函数的奇偶性时，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． 2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)或f(－x0)＝f(x0)． 3．判定分段函数的奇偶性时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．　 1．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)等于(　　) A．－2　　　　　　　　 B．0 C．1 D．2 解析：∵f(x)是R上的奇函数，∴f(－1)＝－f(1)． 又∵f(1)＝12＋1＝2，∴f(－1)＝－2． 答案：A 2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　) A．－ B． C． D．－ 解析：∵f(x)是偶函数，∴b＝0，又a－1＋2a＝0，∴a＝，∴a＋b＝． 答案：B 3．(易错题)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋4x－3，则函数f(x)的解析式为f(x)＝________________． 解析：设x＜0，则－x＞0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋4(－x)－3]＝－x2＋4x＋3，由奇函数的定义可知f(0)＝0， 所以f(x)＝ 答案： 知识点二　函数的周期性 1．周期函数 设函数y＝f(x)的定义域为A．如果存在一个非零的常数T，使得对于任意的x∈A，都有x＋T∈A，并且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x) 就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期． 1．函数周期性的常用结论 对f(x)定义域内任一自变量x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0)． (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0)． 2．对称性与周期的关系 (1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期． (2)若函数f(x)的图象关于点(a，0)和点(b，0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期． (3)若函数f(x)的图象关于点(a，0)和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，4|a－b|是它的一个周期．　 1．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2 023)＝(　　) A．5 B． C．2 D．－2 答案：D 2．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f ＝________． 解析：f ＝f ＝f ＝－4×＋2＝1． 答案：1 授课提示：对应学生用书第20页 题型一　函数奇偶性的判断 1．若函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(　　) A．f(x)＝(|x|＋1)sin x　　　 B．f(x)＝ C．f(x)＝(|x|＋1)cos x D．f(x)＝ 解析：根据函数图象可得函数f(x)为偶函数， A选项f(－x)＝(|x|＋1)sin (－x)＝－(|x|＋1)sin x＝－f(x)， B选项f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以A、B选项为奇函数， 故A、B选项不正确； 根据函数图象可得f(π)>－1，而C选项f(π)＝－(π＋1)<－1，D选项f(π)＝>－1，所以C选项不正确，D选项正确． 答案：D 2．(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是(　　) A．