第2章 第2节 函数的单调性与最值-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（苏教版 新教材 新高考）

第二节　函数的单调性与最值 热点命题分析 学科核心素养 本节是高考的热点，常考查求函数的单调区间，判断函数的单调性，利用单调性比较大小、解不等式等，题型有选择题、填空题，也有解答题，多在第(1)问中考查，难度中等． 本节通过函数的单调性、奇偶性、周期性的应用考查数形结合思想、分类讨论思想以及考生的逻辑推理和数学运算核心素养． 授课提示：对应学生用书第14页 知识点一　函数的单调性 1．单调函数的定义 增函数 减函数 定义 设函数f(x)的定义域为A，区间I⊆A，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么称y＝f(x)在区间I上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么称y＝f(x)在区间I上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2．单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性．增区间和减区间统称为单调区间． 1．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f(x)在区间(－1，0)上是减函数，在(0，1)上是减函数，但在(－1，0)∪(0，1)上却不一定是减函数． 2．两函数f(x)，g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但f(x)·g(x)，等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比． 3．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集． 1．函数y＝x2－6x－6在区间[2，4]上是(　　) A．递减函数　　　　　　 B．递增函数 C．先递减再递增函数 D．先递增再递减函数 解析：函数y＝x2－6x－6的对称轴为直线x＝3，且抛物线开口向上，所以函数在[2，3]上为减函数，在[3，4]上为增函数． 答案：C 2．函数y＝log(x2－2x)的单调递减区间是(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－∞，0) 解析：因为函数的定义域是(－∞，0)∪(2，＋∞)，令g(x)＝x2－2x，由复合函数的单调性可知，原函数的递减区间即为函数g(x)的递增区间，也即为(2，＋∞)． 答案：C 知识点二　函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在实数x0∈A 条件 对于任意x∈A，都有f(x)≤f(x0) 对于任意x∈A，都有f(x)≥f(x0) 结论 f(x0)为最大值 f(x0)为最小值 1．已知函数f(x)＝，x∈[2，6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________． 答案：2　 2．(2023·龙岩模拟)函数f(x)＝－log2(x＋4)在区间[－2，2]上的最大值为________． 解析：由函数的解析式可知f(x)＝－log2(x＋4)在区间[－2，2]上是单调递减函数，则函数的最大值为f(－2)＝－log2(－2＋4)＝9－1＝8． 答案：8 3．函数y＝|x2－4x＋3|的单调递增区间是________． 解析：函数的图象如图所示．由图象可知，函数的递增区间为[1，2]，[3，＋∞)． 答案：[1，2]，[3，＋∞) 授课提示：对应学生用书第15页 题型一　函数单调性的判断与单调区间的求法 1．(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为(　　) A．f(x)＝－x　　　　　 B．f(x)＝ C．f(x)＝x2 D．f(x)＝ 解析：对于f(x)＝－x，由正比例函数的性质可知，f(x)是减函数，故A不符合题意； 对于f(x)＝，由指数函数的单调性可知，f(x)是减函数，故B不符合题意； 对于f(x)＝x2，由二次函数的图象可知，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故C不符合题意； 对于f(x)＝＝x，由幂函数的性质可知，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增． 答案：D 2．判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1＜a＜3)在x∈[1，2]上的单调性． 解：设1≤x1＜x2≤2，则 f(x2)－f(x1)＝ax＋－ ＝(x2－x1)， 由1≤x1＜x2≤2，得x2－x1＞0，2＜x1＋x2＜4， 1＜x1x2＜4，－1＜－＜－．又1＜a＜3， 所以2＜a(x1＋x2)＜12， 得a(x1＋x2)－＞0，从而f(x2)－f(x1)＞0， 即f(x2)＞f(x1)， 故当a∈(1，3)时，函数f(x)在[1，2]上单调递增． 　1．确定已知解析式的函数单调区间的三种方法 — ↓ — ↓ — 2．函数单调性的常用结论 (1)若f(x)，g(