第2章 第1节 函数及其表示-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（苏教版 新教材 新高考）

第一节　函数及其表示 热点命题分析 学科核心素养 从近五年的考查情况来看，本节是高考中的一个热点，常以基本初等函数为载体，与不等式结合考查函数的定义域、值域、解析式的求法，尤其对分段函数的求值、求参问题考查频率较高，常以选择题或填空题的形式出现，属于中、低档题． 本节通过对函数的概念及其表示方法、分段函数的理解及应用考查数形结合思想、分类讨论思想的运用以及考生的数学抽象、数学运算、逻辑推理核心素养． 授课提示：对应学生用书第9页 知识点一　函数的基本概念 1．函数的定义 给定两个非空实数集合A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一的实数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A． 2．函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，所有的输入值x组成的集合A叫作函数y＝f(x)的定义域，对于A中的每一个x(输入值)，都有一个y(输出值)与之对应，所有输出值y组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域． 3．函数的三要素：定义域、值域和对应关系． 4．函数的表示方法 表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法． 1．(多选)下列图象中，能表示函数的图象的是(　　) 解析：显然，对于选项D，当x取一个正值时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义． 答案：ABC 2．函数f(x)＝＋的定义域为(　　) A．[0，2) B．(2，＋∞) C．[0，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞) 解析：由得x≥0且x≠2，所以函数f(x)的定义域为[0，2)∪(2，＋∞)． 答案：C 知识点二　分段函数 1．在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，这样的函数称为分段函数． 2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 1．求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域． 2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论． 1．若函数f(x)＝则f(f(1))的值为(　　) A．－10　　　　　　　 B．10 C．－2 D．2 解析：∵f(1)＝21－4＝－2，∴f(f(1))＝f(－2)＝－2． 答案：C 2．(易错题)设函数f(x)＝则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为________． 解析：因为f(x)是分段函数，所以f(x)≥1应分段求解．当x＜1时，f(x)≥1⇒(x＋1)2≥1⇒x≤－2或x≥0，所以x≤－2或0≤x＜1；当x≥1时，f(x)≥1⇒4－ ≥1，即≤3，所以1≤x≤10．综上所述，x≤－2或0≤x≤10，即x∈(－∞，－2]∪[0，10]． 答案：(－∞，－2]∪[0，10] 3．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________． 解析：因为f(1)＝2，且f(1)＋f(a)＝0，所以f(a)＝－2＜0，故a≤0．依题知a＋1＝－2，解得a＝－3． 答案：－3 授课提示：对应学生用书第10页 题型一　函数的定义域 1．(2022·北京卷)函数f(x)＝＋的定义域是________． 解析：由题意得解得x≤1且x≠0，所以函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，1]． 答案：(－∞，0)∪(0，1] 2．若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是________． 解析：因为函数y＝的定义域为R， 所以mx2＋4mx＋3≠0，所以m＝0或 即m＝0或0＜m＜，所以实数m的取值范围是． 答案： 　求函数f(x)的定义域时，要使解析式有意义．具体如下：(1)分式中，分母不为0；(2)偶次方根中，被开方数非负；(3)对于y＝x0，要求x≠0，负指数的底数不为0． 题型二　函数解析式的求法 1．已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式． 解：(换元法)设1－sinx＝t，t∈[0，2]，则sin x＝1－t，因为f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，所以f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]．即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2]． 2．已知f＝x4＋，求f(x)的解析式． 解：(配凑法)因为f＝－2，所以f(x)＝x2－2，x∈[2，＋∞)． 3．已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式． 解：(待定系数法)因为f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，所以3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17．即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，因此应有a＝2， 5