第11章 第5节 条件概率与全概率公式-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教A版多选 新教材 新高考）

第五节　条件概率与全概率公式 课程标准　1.了解条件概率，能计算简单随机事件的概率．　2.结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系，会利用乘法公式计算概率．　3.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率，了解贝叶斯公式． 授课提示：对应学生用书第233页 知识点一　条件概率 1．条件概率 条件概率的定义 条件概率的性质 在事件A发生的条件下，B发生的概率，称为A发生时B发生的条件概率，记为P(B|A)． 当P(A)>0时，我们有P(B|A)＝.(其中，A∩B也可以记成AB) 类似地，当P(B)>0，B发生时A发生的条件概率为P(A|B)＝ (1)0≤P(B|A)≤1，P(Ω|A)＝1； (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； (3)设与B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A) 2.概率的乘法公式 (1)由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)＞0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)． (2)乘法公式的推广： 设Ai表示事件，i＝1,2,3，且P(Ai)＞0，P(A1A2)＞0， 则P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)． 其中P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率，P(A1A2A3)表示A1A2A3同时发生的概率． 知识点二　全概率公式 1．全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)·P(B|Ai)．我们称此公式为全概率公式． 2．贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)＞0，有P(Ai|B)＝＝，i＝1,2，…，n. 1．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(　　) A．0.8　　 B．0.75　　　C．0.6　　　D．0.45 答案：A 2．已知事件A，B，且P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，则P(B)＝(　　) A. B． C. D. 答案：C 授课提示：对应学生用书第234页 题型一　条件概率 例1　现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率． [解]　设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB. (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝A＝30，根据分步乘法计数原理n(A)＝AA＝20，于是P(A)＝＝＝. (2)因为n(AB)＝A＝12，于是P(AB)＝＝＝. (3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)＝＝＝. 法二：因为n(AB)＝12，n(A)＝20， 所以P(B|A)＝＝＝. 　条件概率的三种求法 定义法 先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A) 基本事件法 借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝ 缩样法 缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简 1．2022年12月4日是第九个“国家宪法日”．某中学开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛活动．甲同学答对第一道题的概率为，连续答对两道题的概率为.用事件A表示“甲同学答对第一道题”，事件B表示“甲同学答对第二道题”，则P(B|A)＝(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析：∵P(AB)＝，P(A)＝，∴P(B|A)＝＝＝. 答案：D 2．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再取到不合格品的概率为________． 解析：法一：在第一次取到不合格品以后，由于不放回，故还有99件产品，其中4件不合格品，故第二次再次取到不合格品的概率为. 法二：第一次取到不合格品的概率为P1＝＝，两次都取到不合格品的概率为P2＝＝. 所以所求概率P＝＝＝. 答案： 题型二　条件概率性质、乘法公式的应用 例2　(1)某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品中有75件一等品，则在该厂的产品中，任取一件是一等品的概率为_