第11章 第2节 二项式定理-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教A版多选 新教材 新高考）

第二节　二项式定理 课程标准　能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 授课提示：对应学生用书第222页 知识点一　二项式定理 1．二项式定理 (1)定理：公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做二项式定理； (2)通项：Tk＋1＝Can－kbk为展开式的第 k＋1项． 2．二项式系数与项的系数 (1)二项式系数：二项展开式中各项的系数C(k∈)叫做二项式系数； (2)项的系数：项的系数是该项中非字母因数部分，包含符号等，与二项式系数是两个不同的概念． 知识点二　二项式系数的性质 1．二项式系数的性质 性质 内容 对称性 与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C＝C 增减性 当k＜时，二项式系数逐渐增大； 当k＞时，二项式系数逐渐减小 最大值 当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，最大值为； 当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为n或 2.各二项式系数的和 (a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n. 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 1.10的展开式中x2的系数等于(　　) A．45　　　　　　　　　　　 B．20 C．－30 D．－90 答案：A 2．(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是(　　) A．60 B．80 C．84 D．120 解析：(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是C＋C＋C＋…＋C. 因为C＋C＝C且C＝C，所以C＋C＝C＋C＝C， 所以C＋C＋C＝C＋C＝C， 以此类推，C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＝C＝＝120. 答案：D 3．若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________. 答案：20 4．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为________． 答案：8 授课提示：对应学生用书第223页 题型一　通项公式的应用 角度(一)　形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式的特定项 例1　(2020·全国Ⅲ卷)6的展开式中常数项是________(用数字作答)． [解析]　6的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)6－rr＝C2rx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4，得常数项为C24＝240. [答案]　240 　与二项展开式有关问题的解题策略 1．求展开式中的特定项，可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可． 2．已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数． 1.6的展开式的中间项为(　　) A．－40　　　　　　　 B．－40x2 C．40 D．40x2 解析：因为二项式6的展开式的通项Tr＋1＝C(2x)6－rr＝26－r··，且共有7项，所以中间项为T3＋1＝23×(－4)－1·Cx2＝－40x2. 答案：B 角度(二)　形如(a＋b)m(c＋d)n (m，n∈N*)的展开式问题 例2　(2020·全国Ⅰ卷)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　　) A．5　　　　　　　　 B．10 C．15 D．20 [解析]　法一：∵(x＋y)5＝(x5＋5x4y＋10x3y2＋10x2y3＋5xy4＋y5)，∴x3y3的系数为10＋5＝15. 法二：当x＋中取x时，x3y3的系数为C， 当x＋中取时，x3y3的系数为C， ∴x3y3的系数为C＋C＝10＋5＝15. [答案]　C 　在求多个因式的乘积的展开式中特定项的系数时，弄清特定项可以由各因式中的哪些项相乘得到． 2．已知(1＋x)n(n∈N*，n＜10)的展开式中没有常数项，则n的最大值是(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：∵(1＋x)n(n∈N*，n＜10)的展开式中没有常数项，∴n的展开式中没有x－1项和常数项．∵n的展开式的通项为Tr＋1＝C·xn－3r(r＝0,1,2，…，n)，故n－3r≠0，且n－3r≠－1，即n≠3r，且n≠3r－1，∴n≠3,6,9，且n≠2,5,8，故n的最大值为7. 答案：B 角度(三)　形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式问题 例3　(x2－x＋1)10展开式中x3项的系数为(　　) A．－210 B．210 C．30 D．－30 [解析]　(x2－x＋1)10＝[x2－(x－1)]10＝C(x2)10－C(x2)9(x－1)＋…－Cx2(x－1)9＋C(x－1)10，所以含x3项的系数为－CC＋C(－