第10章 第3节 成对数据的统计相关性-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教A版多选 新教材 新高考）

第三节　成对数据的统计相关性 课程标准　1.结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系．　2.结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性． 授课提示：对应学生用书第209页 知识点一　变量的相关关系 1．变量的相关关系 常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系． 2．散点图 一般地，如果收集到了变量x和变量y的n对数据(简称为成对数据)，如下表所示. 序号i 1 2 3 … n 变量x x1 x2 x3 … xn 变量y y1 y2 y3 … yn 则在平面直角坐标系xOy中描出点(xi，yi)，i＝1,2,3，…，n，就可以得到这n对数据的散点图． 3．正相关、负相关的概念 如果由变量的成对数据、散点图或直观经验可知，变量x与变量y之间的关系可以近似地用一次函数来刻画，则称x与y线性相关． 正相关：如果一个变量增大，另一个变量大体上也增大，则称这两个变量正相关．如图(1)． 负相关：如果一个变量增大，另一个变量大体上减少，则称这两个变量负相关．如图(2)． 知识点二　样本相关系数 1．r＝ ＝来衡量y与x的线性相关性强弱，这里的r称为样本相关系数． 2．样本相关系数的性质 (1)|r|≤1，且y与x正相关的充要条件是r>0，y与x负相关的充要条件是r<0. (2)|r|越小，说明两个变量之间的线性相关性越弱，也就是得出的回归直线方程越没有价值，即方程越不能反映真实的情况；|r|越大，说明两个变量之间的线性相关性越强，也就是得出的回归直线方程越有价值． (3)|r|＝1的充要条件是成对数据构成的点都在回归线上． 知识点三　一元线性回归模型 1．一元线性回归模型 x与Y的关系可以表示为 我们称上式为Y关于x的一元线性回归模型． Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量，a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数，e是Y与bx＋a之间的随机误差． 2．一元线性回归模型参数的最小二乘估计 (1)经验回归方程 我们将＝x＋， 其中 称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线． 这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计． (2)残差分析 对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差，残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． 知识点四　列联表与独立性检验 1．分类变量 是一种特殊的随机变量，它的不同取值可以区别不同的现象和本质． 2．列联表 一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值为{0,1}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为： X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数． 3．独立性检验 (1)公式及定义： 提出零假设H0：分类变量X和Y独立． 假定我们通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表(如上表)，我们构造一个随机变量χ2＝，用χ2取值的大小作为判断零假设H0是否成立的依据，当它比较大时推断H0不成立，否则认为H0成立． 这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验． (2)临界值的定义： 对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得P(χ2≥xα)＝α成立，我们称xα为α的临界值，这个临界值就可作为判断χ2大小的标准．概率值α越小，临界值xα越大． (3)χ2独立性检验中5个常用的小概率值和相应的临界值： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 1．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是(　　) A．模型1的相关系数r为0.98 B．模型2的相关系数r为0.80 C．模型3的相关系数r为0.50 D．模型4的相关系数r为0.25 答案：A 2．已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是(　　) A．x与y正相关，x与z负相关 B．x与y正相关，x与z正相关 C．x与y负相关，x与z负相关 D．x与y负相关，x与z正相关 答案：C 3．相关变量x，y的样本数据如下表： x 1 2 3 4