第10章 第2节 用样本估计总体-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教A版多选 新教材 新高考）

第二节　用样本估计总体 课程标准　1.会列频率分布表、画频率分布直方图、频率分布折线图，体会它们各自的特点．　2.会计算数据标准差．　3.能根据实际问题的需求合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释．　4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初步体会样本频率分布和数字特征的随机性．　5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题；能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据，认识统计的作用，体会统计思维与确定性思维的差异． 授课提示：对应学生用书第202页 知识点一　频率分布直方图 作频率分布直方图的步骤 (1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)； (2)决定组距与组数； (3)将数据分组； (4)列频率分布表； (5)画频率分布直方图． 知识点二　样本的数字特征 1．众数、中位数、平均数、百分位数 数字特征 概念 优点与缺点 众数 一组数据中重复出现次数最多的数 众数通常用于描述变量的值出现次数最多的数．但显然它对其他数据信息的忽视使它无法客观地反映总体特征 中位数 把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置的一个数据(或两个数据的平均数) 中位数等分样本数据所占频率，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点 平均数 如果有n个数据x1，x2，…，xn，那么这n个数的平均数＝ 平均数与每一个样本数据有关，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低 百分位数 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值 第p百分位数，只是可以估计总体数据从小到大，在某个数据上占p%左右，这样的样本的取值规律与总体的取值规律之间也会存在偏差 2.四分位数 第25百分位数，第50百分位数(中位数)，第75百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份．因此称为四分位数，其中第25百分位数也称第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称第三四分位数或上四分位数． 3．标准差、方差 (1)标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，s＝ ； (2)方差：标准差的平方s2， s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中xi(i＝1,2,3，…，n)是样本数据，n是样本容量，是样本平均数． 4．总体平均数、样本平均数、方差 (1)总体平均数：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，Y3，…，YN，则称 ＝＝i为总体均值． 如果总体的N个变量中，不同的值共有k(k≤N)个，记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi(i＝1,2，…，k)，则总体均值可以写成加权平均数的形式，＝iYi. (2)样本平均数：如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称＝＝i为样本均值，又称样本平均数． (3)比例分配的分层随机抽样中的平均数：在分层随机抽样中，如果第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，……(为第一层的平均数，为第二层的平均数)，则可用 ＝ ＋ ＝ ＋，估计总体平均数. 1．学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n位同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10,50](单位：元)之间，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[10,30)(单位：元)内的同学有33人，则支出在[40,50](单位：元)内的同学人数为(　　) A．100　　　　　　　 B．120 C．30 D．300 答案：C 2．已知样本数据3,5,7,4,6，则该样本标准差为(　　) A．1 B. C. D．2 答案：B 3．(易错题)10名工人某天生产同一零件，生产的零件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有(　　) A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a 答案：D 授课提示：对应学生用书第203页 题型一　频率分布直方图 例1　随着新课程改革和高考综合改革的实施，高中教学以发展学生学科核心素养为导向，学习评价更关注学科核心素养的形成和发展．为此，某市于2022年举行第一届高中数学学科素养竞赛，竞赛结束后，为了评估该市高中学生的数学学科素养，从所有参赛学生中随机抽取1 000 名学生的成绩(单位：分)作为样本进行估计，将抽取的成绩整理后分成五组，依次记为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,