第9章 第5节 抛物线及其性质-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教A版多选 新教材 新高考）

第五节　抛物线及其性质 课程标准　1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．　2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质． 授课提示：对应学生用书第192页 知识点一　抛物线的定义 　满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： 1．在平面内． 2．动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等． 3．定点不在定直线上． 知识点二　抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0， y∈R x≤0， y∈R y≥0， x∈R y≤0， x∈R 开口 方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P(x0，y0)) |PF|＝ x0＋ |PF|＝ －x0＋ |PF|＝ y0＋ |PF|＝ －y0＋ 1．(基本概念)抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点P有(　　) A．0个　　　　　　　 B．1个 C．2个 D．4个 答案：C 2．(基本方法)顶点在坐标原点，准线为y＝－2的抛物线的方程为(　　) A．x2＝8y B．x2＝4y C．y2＝8x D．y2＝4x 答案：A 3．(易错题)抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为(　　) A.　　　　　　　 B．－ C．4 D．－4 答案：B 授课提示：对应学生用书第192页 题型一　抛物线的定义及标准方程 角度(一)　利用抛物线的定义解决有关距离和轨迹问题 例1　已知抛物线x2＝4y的焦点为F，抛物线上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足|AF|－|BF|＝2，则y1＋x－y2－x＝(　　) A．4　　　　　　　 B．6 C．8 D．10 [解析]　∵|AF|－|BF|＝2，∴y1＋1－(y2＋1)＝2， ∴y1－y2＝2，∴y1＋x－y2－x＝5(y1－y2)＝10. [答案]　D 例2　已知动圆过定点F，且与直线x＝－相切，其中p>0，求动圆圆心的轨迹E的方程． [解]　依题意得，圆心到定点F的距离与到直线x＝－的距离相等，再依抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹E为抛物线，其方程为y2＝2px. 　1.利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决有关抛物线距离问题的有效途径． 2．利用抛物线的定义可解决轨迹问题、距离问题 (1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线． (2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，可以利用定义进行相互转化． (3)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋. 1．经过抛物线C的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，如果A，B在抛物线C的准线上的射影分别为A1，B1，那么∠A1FB1等于(　　) A. B. C. D. 解析：由抛物线定义可知|BF|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|，故∠BFB1＝∠BB1F，∠AFA1＝∠AA1F.又∠OFB1＝∠BB1F，∠OFA1＝∠AA1F，故∠BFB1＝∠OFB1，∠AFA1＝∠OFA1，所以∠OFA1＋∠OFB1＝×π＝，即∠A1FB1＝. 答案：C 2．已知动圆P与定圆C：(x－2)2＋y2＝1相外切，又与定直线l：x＝－1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是(　　) A．y2＝4x B．y2＝－4x C．y2＝8x D．y2＝－8x 解析：令P点坐标为(x，y)，A(2,0)，动圆的半径为r， 则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，|PA|＝1＋r，d＝r， P在直线的右侧，故P到定直线的距离是d＝x＋1， 所以|PA|－d＝1，即－(x＋1)＝1， 化简得y2＝8x. 答案：C 3．若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________． 解析：xM＋1＝10⇒xM＝9. 答案：9 角度(二)　抛物线的标准方程 例3　(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为(　　) A．x2＝－12y或y2＝16x B．x2＝12y或y2＝－16x C．x2＝9y或y2＝12x D．x2＝－9y或y2＝－12x (2)过点P(－2,3)的抛物线的标准方程是(　　) A．y2＝－x或x2＝y B．y2＝x