第9章 第4节 直线与双曲线的位置关系-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教A版多选 新教材 新高考）

第四节　直线与双曲线的位置关系 课程标准　1.进一步掌握双曲线的方程及其性质的应用，会判断直线与双曲线的位置关系.2.能运用直线与双曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题． 授课提示：对应学生用书第189页 知识点一　位置关系的判断 　将直线与双曲线方程联立得方程组，消去y(有时也消去x)，得到关于x的方程mx2＋nx＋p＝0. (1)当m＝0时，此时直线与双曲线相交且只有一个交点，此时直线与双曲线的渐近线平行． (2)若m≠0，当Δ＞0时，直线与双曲线有两个交点；当Δ＝0时，直线与双曲线有且只有一个公共点，此时直线与双曲线相切；当Δ＜0时，直线与双曲线无公共点． 知识点二　弦长公式 若直线y＝kx＋b与双曲线相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝ ＝|y1－y2|＝. 1．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是(　　) A.　　　 B. C. D. 解析：由得(1－k2)x2－4kx－10＝0.设直线与双曲线的右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 解得－＜k＜－1. 答案：D 2．已知直线y＝kx＋1与双曲线x2－＝1交于A，B两点，且|AB|＝8，则实数k的值为(　　) A．± B．±或± C．± D．± 解析：由直线与双曲线交于A，B两点，得k≠±2.将y＝kx＋1代入x2－＝1，得(4－k2)x2－2kx－5＝0，则Δ＝4k2＋4×(4－k2)×5>0，k2<5.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，所以|AB|＝·＝8，解得k＝±或±. 答案：B 授课提示：对应学生用书第189页 题型一　直线与双曲线的位置关系 例1　已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1. (1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围； (2)若直线l与双曲线C的两支交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值． [解]　(1)由消去y整理，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.由题意知 解得－＜k＜，且k≠±1.故实数k的取值范围为(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)． (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由(1)得x1＋x2＝－，x1x2＝－. 又直线l恒过点D(0，－1)，且x1x2＜0， 则S△OAB＝S△OAD＋S△OBD＝|x1|＋|x2|＝|x1－x2|＝. 所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2)2， 即2＋＝8，解得k＝0或k＝±， 由(1)知上述k的值符合题意，所以k＝0或k＝±. 　1.研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定． 2．研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，但对于选择题、填空题，常根据几何条件，利用数形结合的方法求解． 1．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，右焦点为F，若过点M(1,0)且斜率为1的直线l与双曲线C交于A，B两点，且·＝4，则此双曲线的方程为________． 解析：由e＝＝，得c2＝3a2，又c2＝a2＋b2，则b2＝2a2.直线l的方程为y＝x－1，将其代入－＝1得x2＋2x－1－2a2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝－2，x1x2＝－1－2a2，y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝－2a2＋2.又F(a,0)，则＝(x1－a，y1)，＝(x2－a，y2)，得·＝x1x2－a(x1＋x2)＋3a2＋y1y2＝4，则a2－2a＋3＝0，从而a＝，则a2＝3，b2＝6，故所求的双曲线方程为－＝1. 答案：－＝1 2．已知直线l：y＝k(x－)与曲线x2－y2＝1(x＞1)相交于A，B两点，则直线l的倾斜角的范围是________________． 解析：由得x2－k2(x－)2＝1， 即(1－k2)x2＋2k2x－2k2－1＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由题意知 解得k2－1＞0，即k＞1或k＜－1， 故直线l的倾斜角范围是∪. 答案：∪ 题型二　弦长问题及中点弦问题 角度(一)　 弦长问题 例2　过双曲线2x2－y2＝6的左焦点F1，作倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，则|AB|＝________. [解析]　由双曲线的方程得，两焦点分别为F1(－3,0)，F2(3,0)． 因为直线AB的倾斜角是30°，且直线过左焦点，所以直线AB的方程是y＝(x＋3)， 联立，得方程组消去y，得5x2－