第9章 第3节 双曲线及其性质-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教A版多选 新教材 新高考）

第三节　双曲线及其性质 课程标准　1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．　2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质． 授课提示：对应学生用书第184页 知识点一　双曲线的定义 满足以下两个条件的点的轨迹是双曲线： 1．在平面内． 2．与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数． 知识点二　双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图　形 性 质 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 顶点坐标： A1(－a,0)，A2(a,0) 顶点坐标： A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 知识点三　两个特殊的双曲线 共轭双曲线 定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线． 性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1 等轴双曲线 定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． 性质：a＝b；e＝；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项 1．“m＞0”是“方程－＝1表示双曲线”的(　　) A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由“方程－＝1表示双曲线”得m(m＋2)＞0，即m＞0或m＜－2，又“m＞0”是“m＞0或m＜－2”的充分不必要条件，故“m＞0”是“方程－＝1表示双曲线”的充分不必要条件． 答案：A 2．(2019·北京卷)已知双曲线－y2＝1(a＞0)的离心率是，则a＝(　　) A. B．4 C．2 D. 解析：∵双曲线的离心率e＝＝，c＝，∴＝，解得a＝. 答案：D 3．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)过点(，)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C的标准方程为(　　) A.－y2＝1 B.－＝1 C．x2－＝1 D.－＝1 解析：由双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)过点(，)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，可得解得 故双曲线C的标准方程为x2－＝1. 答案：C 4．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________． 解析：由题意知直线y＝－x过点(3，－4)，所以＝4，即＝，所以e＝＝＝＝. 答案： 授课提示：对应学生用书第185页 题型一　双曲线的定义及标准方程 例1　已知双曲线的两个焦点分别为F1(－5,0)，F2(5，0)，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程． [解]　因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)． 由2c＝10,2a＝6，得c＝5，a＝3，因此b2＝52－32＝16. 所以双曲线的标准方程为－＝1. 例2　求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，a＝4，b＝3； (2)焦点在x轴上，经过点(－，－)，； (3)焦点为(0，－6)，(0,6)，且经过点(2，－5)． [解]　(1)因为焦点在x轴上，设双曲线方程为－＝1， 因为a＝4，b＝3，所以双曲线方程为－＝1. (2)因为焦点在x轴上，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)， 因为经过点(－，－)，， 代入可得 令＝m，＝n，可得 解得所以 所以双曲线方程为x2－＝1. (3)因为焦点为(0，－6)，(0,6)，所以c＝6，且焦点在y轴， 因为经过点(2，－5)， 根据双曲线定义可得 |－|＝2a， 解得a＝2， 又b2＝c2－a2＝36－20＝16， 所以双曲线方程为－＝1. 　双曲线定义及标准方程问题求解中的两个注意点 1．应用双曲线的定义需注意的问题 在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”，若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用． 2．求双曲线方程时，一是标准形式判断；二是注意a，b，c的关系易错易混． 1．已知平面内有两个定点F1(－5,0)和F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝6